решите через формулу Бернулли Задача 1. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули подряд 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в…

Для решения задач, необходимых в формуле Бернулли, мы будем использовать следующую формулу:

\[ P(X = k) = C(n, k) p^k (1-p)^{n-k} \]

где:

• \(P(X = k)\) — вероятность того, что событие произойдет \(k\) раз,
• \(C(n, k)\) — биномиальный коэффициент, равный количеству способов выбрать \(k\) успехов из \(n\) попыток,
• \(p\) — вероятность успеха в одной попытке,
• \(n\) — общее количество попыток,
• \(k\) — количество успехов.

Задача 1

У нас есть 20 белых и 10 черных шаров, всего 30 шаров. Вероятность того, что шар окажется черным:

\[ p = \frac{10}{30} = \frac{1}{3} \] Вероятность того, что шар окажется белым:

\[ 1 - p = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \]

Мы хотим найти вероятность того, что из 4 вынутых шаров будет 2 черных:

• \(n = 4\) (количество испытаний),
• \(k = 2\) (количество черных шаров).

Теперь используем формулу Бернулли:

\[ P(X = 2) = C(4, 2) \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^{4-2} \]

Расчитаем:

• Биномиальный коэффициент:

\[ C(4, 2) = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6 \]

Теперь подставим все в формулу:

\[ P(X = 2) = 6 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = 6 \times \frac{1}{9} \times \frac{4}{9} = 6 \times \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27} \]

Ответ для Задачи 1: \(\frac{8}{27}\)

---

Задача 2

Игральная кость бросается 10 раз. Вероятность того, что выпадет число 5:

\[ p = \frac{1}{6} \] Вероятность того, что число 5 не выпадет:

\[ 1 - p = \frac{5}{6} \]

Мы ищем вероятность того, что число 5 выпадет 2 раза:

• \(n = 10\),
• \(k = 2\).

Используем формулу Бернулли:

\[ P(X = 2) = C(10, 2) \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{10-2} \]

Биномиальный коэффициент:

\[ C(10, 2) = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \]

Теперь подставляем в формулу:

\[ P(X = 2) = 45 \left(\frac{1}{6}\right)^2 \left(\frac{5}{6}\right)^{8} \]

\[ P(X = 2) = 45 \times \frac{1}{36} \times \left(\frac{5^8}{6^8}\right) = 45 \times \frac{1}{36} \times \frac{390625}{1679616} \]

Теперь вычислим:

\[ P(X = 2) = \frac{45 \times 390625}{36 \times 1679616} = \frac{17578125}{60466176} \approx 0.2907 \]

Ответ для Задачи 2: \(\approx 0.2907\)

---

Задача 3

Вероятность появления события A равна 0.4 (то есть \(p = 0.4\)).

Мы ищем вероятность того, что событие A появится не более трех раз при 10 испытаниях:

\[ n = 10 \] \[ k \leq 3 \]

Это значит, мы должны рассчитать суммы вероятностей для \(k = 0, 1, 2, 3\):

\[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]

Вычисляем каждое из значений:

1. \(P(X = 0)\):

\[ P(X = 0) = C(10, 0) \left(0.4\right)^0 \left(0.6\right)^{10} = 1 \times 1 \times \left(0.6\right)^{10} \approx 0.0060466176 \]

2. \(P(X = 1)\):

\[ P(X = 1) = C(10, 1) \left(0.4\right)^1 \left(0.6\right)^{9} = 10 \times 0.4 \times \left(0.6\right)^{9} \approx 0.0403174827 \]

3. \(P(X = 2)\):

\[ P(X = 2) = C(10, 2) \left(0.4\right)^2 \left(0.6\right)^{8} = 45 \times (0.4)^2 \times (0.6)^{8} \approx 0.120932352 \]

4. \(P(X = 3)\):

\[ P(X = 3) = C(10, 3) \left(0.4\right)^3 \left(0.6\right)^{7} = 120 \times (0.4)^3 \times (0.6)^{7} \approx 0.215233505 \]

Теперь сложим эти вероятности:

\[ P(X \leq 3) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) \]

\[ P(X \leq 3) \approx 0.0060466176 + 0.0403174827 + 0.120932352 + 0.215233505 \approx 0.3825299573 \]

Ответ для Задачи 3: \(\approx 0.3825\)

В заключение, мы получили следующие результаты:

1. Задача 1: \(\frac{8}{27}\)
2. Задача 2: \(\approx 0.2907\)
3. Задача 3: \(\approx 0.3825\)