Решите графически систему уравнений: x + y = 5 ,\\ y=x^ 2 +3.

Чтобы решить систему уравнений графически, необходимо построить графики каждого уравнения и определить их точки пересечения.

1. Первое уравнение: \(x + y = 5\)

   Мы можем выразить \(y\) через \(x\): \[ y = 5 - x \] Это — уравнение straight line (прямой линии) с наклоном -1 и пересечением по оси y на уровне 5.

2. Второе уравнение: \(y = x^2 + 3\)

   Это — парабола, открытая вверх, с вершиной в точке \((0, 3)\).

Теперь построим оба графика.

• Уравнение \(y = 5 - x\) будет следующими:

  • Если \(x = 0\), то \(y = 5\) (точка \((0, 5)\)).
  • Если \(x = 5\), то \(y = 0\) (точка \((5, 0)\)).

  Соединим эти точки, чтобы нарисовать линию.

• Уравнение \(y = x^2 + 3\) будет следующими:

  • Если \(x = 0\), то \(y = 3\) (вершина параболы \((0, 3)\)).
  • Если \(x = 1\), то \(y = 4\) (точка \((1, 4)\)).
  • Если \(x = -1\), то \(y = 4\) (точка \((-1, 4)\)).
  • Если \(x = 2\), то \(y = 7\) (точка \((2, 7)\)).
  • Если \(x = -2\), то \(y = 7\) (точка \((-2, 7)\)).

Теперь графики пересекаются. Чтобы определить координаты точки пересечения, мы можем решить систему уравнений аналитически:

1. Подставим \(y\) из первого уравнения во второе: \[ 5 - x = x^2 + 3 \]

2. Перепишем уравнение: \[ x^2 + x - 2 = 0 \]

3. Теперь решим квадратное уравнение: \[ (x + 2)(x - 1) = 0 \] Имеем два решения: \(x = -2\) и \(x = 1\).

4. Теперь найдем соответствующие значения \(y\):

   • Для \(x = -2\): \[ y = 5 - (-2) = 7 \quad \text{(точка \((-2, 7)\))} \]
   • Для \(x = 1\): \[ y = 5 - 1 = 4 \quad \text{(точка \((1, 4)\))} \]

Таким образом, система уравнений имеет два решения:

1. \((-2, 7)\)
2. \((1, 4)\)

Эти решения соответствуют точкам пересечения графиков на координатной плоскости.