Варнант 2 1.Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см. 2. Днагонали ромба равны 14см. и 48 см. Найдите сторону ромба. 3. В…

Давайте по порядку решим все задачи.

Задача 1

Найдите второй катет прямоугольного треугольника, если его гипотенуза 17 см, а другой катет 15 см.

Используем теорему Пифагора: \[ c^2 = a^2 + b^2 \] где \( c \) — гипотенуза, \( a \) и \( b \) — катеты.

Дано:

• \( c = 17 \) см
• \( a = 15 \) см

Найдём \( b \): \[ 17^2 = 15^2 + b^2 \] \[ 289 = 225 + b^2 \] \[ b^2 = 289 - 225 \] \[ b^2 = 64 \] \[ b = \sqrt{64} = 8 \]

Ответ: Второй катет равен 8 см.

---

Задача 2

Диагонали ромба равны 14 см и 48 см. Найдите сторону ромба.

В ромбе диагонали пересекаются под прямым углом и делят его пополам. Значит, стороны ромба можно найти с помощью теоремы Пифагора.

Дано:

• Длина диагоналей \( d_1 = 14 \) см и \( d_2 = 48 \) см.

Полумагширенные диагонали: \[ \frac{d_1}{2} = \frac{14}{2} = 7 \] см, \[ \frac{d_2}{2} = \frac{48}{2} = 24 \] см.

Теперь находим сторону \( S \): \[ S^2 = 7^2 + 24^2 \] \[ S^2 = 49 + 576 \] \[ S^2 = 625 \] \[ S = \sqrt{625} = 25 \]

Ответ: Сторона ромба равна 25 см.

---

Задача 3

В параллелограмме две стороны 12 см и 16 см, а один из углов 150°. Найдите площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма можно найти по формуле: \[ S = a \cdot b \cdot \sin(\theta) \] где \( a \) и \( b \) — стороны, \( \theta \) — угол между ними.

Дано:

• \( a = 12 \) см
• \( b = 16 \) см
• \( \theta = 150° \)

Находим \( \sin(150°) \): \[ \sin(150°) = \sin(180° - 30°) = \sin(30°) = 0.5 \]

Теперь подставляем значения: \[ S = 12 \cdot 16 \cdot 0.5 \] \[ S = 12 \cdot 8 \] \[ S = 96 \]

Ответ: Площадь параллелограмма равна 96 см².

---

Задача 4

В треугольнике ABC \( Z_A = 30° \), \( Z_B = 75° \), высота \( BD = 6 \) см. Найдите площадь треугольника ABC.

Сначала найдем угол \( Z_C \): \[ Z_C = 180° - Z_A - Z_B = 180° - 30° - 75° = 75° \]

Используем формулу для площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h \] где \( a \) — основание (сторона, на которую проведена высота), \( h \) — высота.

Чтобы найти основание \( AC \), используем соотношение между углами. Однако, для простоты можно взять отрезок \( AC \), и по формуле высоты выражать площадь: Найдём площадь выражая ее через высоту и угол: Пусть \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \).

Теперь для поиска основания используем: \[ AC = BD \cdot \frac{1}{\sin 30°} = 6 \cdot 2 = 12 \]

Теперь подставим в формулу площади: \[ S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \]

Ответ: Площадь треугольника ABC равна 36 см².

---

Задача 5

Диагональ прямоугольника равна 13 см, а одна из сторон — 5 см. Найдите площадь и периметр прямоугольника.

Обозначим стороны прямоугольника как \( a \) и \( b \), где \( a = 5 \) см.

По теореме Пифагора для прямоугольника: \[ d^2 = a^2 + b^2 \] где \( d = 13 \) см, \( a = 5 \) см.

\[ 13^2 = 5^2 + b^2 \] \[ 169 = 25 + b^2 \] \[ b^2 = 169 - 25 \] \[ b^2 = 144 \] \[ b = \sqrt{144} = 12 \]

Теперь найдем площадь и периметр: \[ S = a \cdot b = 5 \cdot 12 = 60 \] \[ P = 2(a + b) = 2(5 + 12) = 2 \cdot 17 = 34 \]

Ответ: Площадь равна 60 см², периметр равен 34 см.

---

Задача 6

В равнобедренной трапеции боковая сторона равна 13 см, основания 10 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Площадь трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{(a + b)}{2} \cdot h \] где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

Чтобы найти высоту \( h \), сначала воспользуемся свойством равнобедренной трапеции. Пусть \( h \) — высота, которую можно выразить через боковую сторону и разность оснований.

Обозначим:

• \( a = 10 \) см
• \( b = 20 \) см
• \( c = 13 \) см (боковая сторона)

Сначала находим половину разности оснований: \[ m = \frac{b - a}{2} = \frac{20 - 10}{2} = 5 \]

Теперь применяем теорему Пифагора, чтобы найти высоту \( h \): \[ c^2 = h^2 + m^2 \] \[ 13^2 = h^2 + 5^2 \] \[ 169 = h^2 + 25 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \]

Теперь подставим \( h \) в формулу площади: \[ S = \frac{(10 + 20)}{2} \cdot 12 = 15 \cdot 12 = 180 \]

Ответ: Площадь трапеции равна 180 см².

---

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!