реши систему уравнений 2 способами x+y=3 x²-y²=15
Чтобы решить систему уравнений:
\( x + y = 3 \)
\( x^2 - y^2 = 15 \)
Сначала воспользуемся первым методом — подстановкой.
Метод подстановки:
Из первого уравнения выразим \( y \):
\[ y = 3 - x \]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
\[ x^2 - (3 - x)^2 = 15 \]
Раскроем скобки:
\[ x^2 - (9 - 6x + x^2) = 15 \\ x^2 - 9 + 6x - x^2 = 15 \\ 6x - 9 = 15 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ 6x = 15 + 9 \\ 6x = 24 \\ x = 4 \]
Теперь подставим значение \( x \) обратно в первое уравнение, чтобы найти \( y \):
\[ 4 + y = 3 \\ y = 3 - 4 \\ y = -1 \]
Таким образом, одно из решений нашей системы:
\((x, y) = (4, -1)\)
Теперь решим ту же систему с помощью другого метода — метода сложения.
Метод сложения:
Перепишем систему уравнений в следующем виде:
\( x + y = 3 \)
\( x^2 - y^2 = 15 \)
Мы знаем, что \( x^2 - y^2 \) можно записать как разность квадратов:
\[ (x - y)(x + y) = 15 \]
Из первого уравнения мы знаем, что \( x + y = 3 \). Подставим это значение во второе уравнение:
\[ (x - y) \cdot 3 = 15 \]
Теперь решим это уравнение:
\[ x - y = \frac{15}{3} = 5 \]
Теперь у нас есть новая система уравнений:
\( x + y = 3 \)
\( x - y = 5 \)
Теперь сложим оба уравнения:
\[ (x + y) + (x - y) = 3 + 5 \\ 2x = 8 \\ x = 4 \]
Теперь найдем \( y \), подставив значение \( x \) в первое уравнение:
\[ 4 + y = 3 \\ y = 3 - 4 \\ y = -1 \]
Таким образом, мы получили то же самое решение:
\((x, y) = (4, -1)\)
В результате, система уравнений имеет одно решение: \((4, -1)\).
