Чтобы решить систему уравнений:
( x + y = 3 )
( x^2 - y^2 = 15 )
Сначала воспользуемся первым методом — подстановкой.
Метод подстановки:
Из первого уравнения выразим ( y ):
[
y = 3 - x
]
Теперь подставим это выражение во второе уравнение:
[
x^2 - (3 - x)^2 = 15
]
Раскроем скобки:
[
x^2 - (9 - 6x + x^2) = 15 \
x^2 - 9 + 6x - x^2 = 15 \
6x - 9 = 15
]
Теперь решим это уравнение:
[
6x = 15 + 9 \
6x = 24 \
x = 4
]
Теперь подставим значение ( x ) обратно в первое уравнение, чтобы найти ( y ):
[
4 + y = 3 \
y = 3 - 4 \
y = -1
]
Таким образом, одно из решений нашей системы:
((x, y) = (4, -1))
Теперь решим ту же систему с помощью другого метода — метода сложения.
Метод сложения:
Перепишем систему уравнений в следующем виде:
( x + y = 3 )
( x^2 - y^2 = 15 )
Мы знаем, что ( x^2 - y^2 ) можно записать как разность квадратов:
[
(x - y)(x + y) = 15
]
Из первого уравнения мы знаем, что ( x + y = 3 ). Подставим это значение во второе уравнение:
[
(x - y) \cdot 3 = 15
]
Теперь решим это уравнение:
[
x - y = \frac{15}{3} = 5
]
Теперь у нас есть новая система уравнений:
( x + y = 3 )
( x - y = 5 )
Теперь сложим оба уравнения:
[
(x + y) + (x - y) = 3 + 5 \
2x = 8 \
x = 4
]
Теперь найдем ( y ), подставив значение ( x ) в первое уравнение:
[
4 + y = 3 \
y = 3 - 4 \
y = -1
]
Таким образом, мы получили то же самое решение:
((x, y) = (4, -1))
В результате, система уравнений имеет одно решение: ((4, -1)).
