1. Прибор состоит из 5 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,6. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 3 узла.

Для решения этой задачи можно использовать модель биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество узлов (n = 5) и вероятность отказа (c) для каждого узла. 1. Вероятность отказа узла: \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \) 2. Мы знаем, что количество узлов, которые выходят из строя, обозначим как k (в нашем случае это 3), а общее количество узлов обозначим как n (в нашем случае это 5). 3. Формула биномиального распределения выглядит так: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \] где: - \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \), - p – вероятность успеха (не откажет узел) – в данном случае p = 0.6, - q – вероятность неуспеха (узел откажет) – в данном случае q = 0.4. Теперь можем подставить данные в формулу: 1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(5, 3) \): \[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \] 2. Подставим значения в формулу вероятности: \[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^{5-3} \cdot q^3 = 10 \cdot (0.6)^{2} \cdot (0.4)^{3} \] 3. Теперь посчитаем: \[ = 10 \cdot (0.6)^{2} \cdot (0.4)^{3} = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 \] \[ = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304 \] Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 3 узла, равна \( P(X = 3) \approx 0.2304 \) или 23.04%.