1. Прибор состоит из 5 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,6. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность…

Для решения этой задачи можно использовать модель биномиального распределения, так как у нас есть фиксированное количество узлов (n = 5) и вероятность отказа (c) для каждого узла.

1. Вероятность отказа узла: \( q = 1 - p = 1 - 0.6 = 0.4 \)
2. Мы знаем, что количество узлов, которые выходят из строя, обозначим как k (в нашем случае это 3), а общее количество узлов обозначим как n (в нашем случае это 5).
3. Формула биномиального распределения выглядит так:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^{n-k} \cdot q^k \]

где:

• \( C(n, k) \) – биномиальный коэффициент, который можно вычислить как \( \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• p – вероятность успеха (не откажет узел) – в данном случае p = 0.6,
• q – вероятность неуспеха (узел откажет) – в данном случае q = 0.4.

Теперь можем подставить данные в формулу:

1. Вычислим биномиальный коэффициент \( C(5, 3) \):

\[ C(5, 3) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5!}{3! \cdot 2!} = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 10 \]

2. Подставим значения в формулу вероятности:

\[ P(X = 3) = C(5, 3) \cdot p^{5-3} \cdot q^3 = 10 \cdot (0.6)^{2} \cdot (0.4)^{3} \]

3. Теперь посчитаем:

\[ = 10 \cdot (0.6)^{2} \cdot (0.4)^{3} = 10 \cdot 0.36 \cdot 0.064 \] \[ = 10 \cdot 0.02304 = 0.2304 \]

Таким образом, вероятность того, что за время t откажут 3 узла, равна \( P(X = 3) \approx 0.2304 \) или 23.04%.