Установите соответствие между функцией и её областью определения:

Чтобы установить соответствие между функцией и её областью определения, нужно рассмотреть каждую функцию и её ограничения.

1. \( y = \log_{3-x}(x-1) \)

   • Для логарифма основание должно быть положительным и не равно 1: \( 3-x > 0 \Rightarrow x < 3 \).
   • Аргумент логарифма должен быть положительным: \( x-1 > 0 \Rightarrow x > 1 \).

   Таким образом, область определения: \( x \in (1; 3) \).

2. \( y = \log_{x}(3-x) \)

   • Основание логарифма должно быть положительным и не равно 1: \( x > 0 \) и \( x \neq 1 \).
   • Аргумент логарифма должен быть положительным: \( 3-x > 0 \Rightarrow x < 3 \).

   Таким образом, область определения: \( x \in (0; 1) \cup (1; 3) \).

3. \( y = \frac{1}{\sqrt{3-x} - \sqrt{x-1}} \)

   • Подквадратные выражения должны быть неотрицательными:
     • \( 3-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 3 \)
     • \( x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1 \)
   • Поскольку знаменатель не должен быть равен нулю: \(\sqrt{3-x} \neq \sqrt{x-1} \Rightarrow x \neq 2\).

   Таким образом, область определения: \( x \in [1; 2) \cup (2; 3] \).

4. \( y = \frac{1}{\sqrt{3-x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \)

   • Подквадратные выражения должны быть неотрицательными:
     • \( 3-x > 0 \Rightarrow x < 3 \)
     • \( x > 0 \Rightarrow x > 0 \)

   Таким образом, область определения: \( x \in (0; 3) \).

Сопоставим функции с их областями определения:

1. \( y = \log_{3-x}(x-1) \) — \( x \in (1; 3) \) (область 1).
2. \( y = \log_{x}(3-x) \) — \( x \in (0; 1) \cup (1; 3) \) (область 2).
3. \( y = \frac{1}{\sqrt{3-x} - \sqrt{x-1}} \) — \( x \in [1; 2) \cup (2; 3] \) (область 3).
4. \( y = \frac{1}{\sqrt{3-x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \) — \( x \in (0; 3) \) (область 4).