Ответ:

Чтобы найти предел: \[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^3 x}{2x \cdot \sin x} \] мы можем использовать разложение в ряд Тейлора для функции \(\cos x\) и \(\sin x\): 1. Разложение \(\cos x\) в ряд Тейлора около точки \(0\) даёт: \[ \cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} \] 2. Соответственно \(\cos^3 x \approx (1 - \frac{x^2}{2})^3 \approx 1 - \frac{3x^2}{2}\). 3. Разложение \(\sin x\) в ряд Тейлора около точки \(0\) даёт: \[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{6} \] Теперь подставим разложения в предел: \[ 1 - \cos^3 x \approx 1 - (1 - \frac{3x^2}{2}) = \frac{3x^2}{2} \] Следовательно, исходный предел можно переписать как: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2}}{2x \cdot (x - \frac{x^3}{6})} \] Упрощаем выражение в знаменателе: \[ 2x^2(1 - \frac{x^2}{6}) \approx 2x^2 \] Теперь предел становится: \[ \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3x^2}{2}}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{3}{4} = \frac{3}{4} \] Таким образом, результат с точностью до 0.01 равен 0.75.