Значение функции y = х4-4x3+10 в точке перегиба равно:
Для нахождения значения функции \( y = x^4 - 4x^3 + 10 \) в точке перегиба, вам сначала нужно найти точку перегиба. Это делается через нахождение второй производной функции и определение, где она изменяет свой знак.
- Вычислите первую производную \( y' \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(x^4 - 4x^3 + 10) = 4x^3 - 12x^2 \]
- Вычислите вторую производную \( y'' \):
\[ y'' = \frac{d}{dx}(4x^3 - 12x^2) = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2) \]
- Найдите точки перегиба, решив уравнение \( y'' = 0 \):
\[ 12x(x - 2) = 0 \]
Это уравнение имеет два корня:
\[ x = 0 \quad \text{и} \quad x = 2 \]
- Теперь нужно проверить, изменяется ли знак второй производной в этих точках.
- Для \( x = 0 \):
\[ y''(-1) = 12(-1)(-1 - 2) = 12 \cdot (-1) \cdot (-3) > 0 \quad (\text{знак положительный}) \] \[ y''(1) = 12(1)(1 - 2) = 12 \cdot 1 \cdot (-1) < 0 \quad (\text{знак отрицательный}) \]
Таким образом, в \( x = 0 \) происходит изменение знака, и эта точка является точкой перегиба.
- Для \( x = 2 \):
\[ y''(1) = 12(1)(1) > 0 \quad (\text{знак положительный}) \] \[ y''(3) = 12(3)(3 - 2) = 12 \cdot 3 \cdot 1 > 0 \quad (\text{знак положительный}) \]
Здесь знак не меняется, значит, \( x = 2 \) не является точкой перегиба.
- Теперь найдем значение функции \( y \) в точке перегиба \( x = 0 \):
\[ y(0) = (0)^4 - 4(0)^3 + 10 = 10 \]
Таким образом, значение функции \( y \) в точке перегиба равно 10.
