ответ один числом

Чтобы найти разность между экстремальными значениями функции \( y = \frac{3x^4 + 1}{x^2} \), нужно сначала найти её критические точки и определить значения функций в них.

1. Упростим выражение:

\[ y = 3x^2 + \frac{1}{x^2} \]

2. Найдем первую производную:

\[ y' = 6x - \frac{2}{x^3} \]

3. Найдем критические точки, решая уравнение \( y' = 0 \):

\[ 6x - \frac{2}{x^3} = 0 \]

Умножим на \( x^3 \) для упрощения:

\[ 6x^4 - 2 = 0 \]

\[ 6x^4 = 2 \]

\[ x^4 = \frac{1}{3} \]

\[ x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}} \]

4. Подставим значения \( x \) в выражение для \( y \):

   • \( x = \sqrt[4]{\frac{1}{3}} \):
     \[ y = 3\left(\sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right)^2 + \frac{1}{\left(\sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right)^2} = 3 \cdot \sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{3} = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

   • \( x = -\sqrt[4]{\frac{1}{3}} \):
     \[ y = 3\left(-\sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right)^2 + \frac{1}{\left(-\sqrt[4]{\frac{1}{3}}\right)^2} = 2\sqrt{3} \]

5. Найдем разность между экстремальными значениями:

Разность между \( y_{\max} \) и \( y_{\min} \) равна \( 0 \).

Ответ: 0