√х+1+√х-1=√2 решение с проверкой и одз

Решим уравнение \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}\) с проверкой и определением области допустимых значений (ОДЗ).

Шаг 1: ОДЗ

Для того чтобы выразить \(\sqrt{x + 1}\) и \(\sqrt{x - 1}\), необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:

1. \(x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1\)
2. \(x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1\)

Таким образом, область допустимых значений:

\[ x \geq 1 \]

Шаг 2: Решение уравнения

Для решения уравнения \(\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}\) сначала выразим одно из корней, затем возведем обе стороны в квадрат. Начнём с изолирования одного из корней:

\[ \sqrt{x + 1} = \sqrt{2} - \sqrt{x - 1} \]

Теперь возведем обе стороны в квадрат:

\[ x + 1 = (\sqrt{2} - \sqrt{x - 1})^2 \]

Раскроем скобки:

\[ x + 1 = 2 - 2\sqrt{2}\sqrt{x - 1} + (x - 1) \] \[ x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{2}\sqrt{x - 1} \]

Теперь уберем \(x + 1\) с обеих сторон:

\[ 0 = -2\sqrt{2}\sqrt{x - 1} \]

Следовательно, нам нужно решить:

\[ \sqrt{x - 1} = 0 \]

Возведем в квадрат обе стороны:

\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]

Шаг 3: Проверка

Подставим \(x = 1\) в изначальное уравнение:

\[ \sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2} \] \[ \sqrt{2} + 0 = \sqrt{2} \]

Это равенство верно, значит \(x = 1\) является решением.

Ответ

Решение уравнения: \(x = 1\). Область допустимых значений: \(x \geq 1\).