Решим уравнение (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}) с проверкой и определением области допустимых значений (ОДЗ).
Шаг 1: ОДЗ
Для того чтобы выразить (\sqrt{x + 1}) и (\sqrt{x - 1}), необходимо, чтобы подкоренные выражения были неотрицательными:
- (x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -1)
- (x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1)
Таким образом, область допустимых значений:
[
x \geq 1
]
Шаг 2: Решение уравнения
Для решения уравнения (\sqrt{x + 1} + \sqrt{x - 1} = \sqrt{2}) сначала выразим одно из корней, затем возведем обе стороны в квадрат. Начнём с изолирования одного из корней:
[
\sqrt{x + 1} = \sqrt{2} - \sqrt{x - 1}
]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
[
x + 1 = (\sqrt{2} - \sqrt{x - 1})^2
]
Раскроем скобки:
[
x + 1 = 2 - 2\sqrt{2}\sqrt{x - 1} + (x - 1)
]
[
x + 1 = x + 1 - 2\sqrt{2}\sqrt{x - 1}
]
Теперь уберем (x + 1) с обеих сторон:
[
0 = -2\sqrt{2}\sqrt{x - 1}
]
Следовательно, нам нужно решить:
[
\sqrt{x - 1} = 0
]
Возведем в квадрат обе стороны:
[
x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1
]
Шаг 3: Проверка
Подставим (x = 1) в изначальное уравнение:
[
\sqrt{1 + 1} + \sqrt{1 - 1} = \sqrt{2}
]
[
\sqrt{2} + 0 = \sqrt{2}
]
Это равенство верно, значит (x = 1) является решением.
Ответ
Решение уравнения: (x = 1). Область допустимых значений: (x \geq 1).
