Для начала, рассмотрим функцию ( y = x^2 - |4x - 3| ). Мы можем разделить функцию на два случая, в зависимости от выражения ( 4x - 3 ).
Случай 1: ( 4x - 3 \geq 0 ) (то есть ( x \geq \frac{3}{4} )):
[
y = x^2 - (4x - 3) = x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 3
]
Это парабола, открытая вверх.
Случай 2: ( 4x - 3 < 0 ) (то есть ( x < \frac{3}{4} )):
[
y = x^2 - -(4x - 3) = x^2 + 4x - 3
]
Это также парабола, открытая вверх.
Теперь у нас есть две функции:
- ( y_1 = x^2 - 4x + 3 ) при ( x \geq \frac{3}{4} )
- ( y_2 = x^2 + 4x - 3 ) при ( x < \frac{3}{4} )
Следующий шаг — найти точки пересечения графика функции с прямой ( y = m ).
Анализ первого случая
Решим уравнение:
[
x^2 - 4x + 3 = m
]
или
[
x^2 - 4x + (3 - m) = 0
]
Дискриминант этого уравнения равен:
[
D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - m) = 16 - 12 + 4m = 4 + 4m
]
Анализ второго случая
Теперь решим уравнение:
[
x^2 + 4x - 3 = m
]
или
[
x^2 + 4x + (-3 - m) = 0
]
Дискриминант этого уравнения равен:
[
D_2 = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - m) = 16 + 12 + 4m = 28 + 4m
]
Условия для трех общих точек
Чтобы прямая ( y = m ) имела ровно три общие точки, она должна пересекать одну из парабол в две точки, и другую — в одну точку.
- ( D_1 = 4 + 4m ) должно быть равно нулю, чтобы была одна точка пересечения на первой параболе.
- ( D_2 = 28 + 4m ) должно быть больше нуля, чтобы была две точки пересечения на второй параболе.
Условие для первого случая:
[
4 + 4m = 0 \Rightarrow m = -1
]
Условие для второго случая:
[
28 + 4m > 0 \Rightarrow 4m > -28 \Rightarrow m > -7
]
Резюме
Таким образом, прямая ( y = m ) будет иметь ровно три общие точки с графиком функции ( y = x^2 - |4x - 3| ) при
[
-7 < m = -1.
]
Подводя итог, ( m ) должно находиться в интервале:
[
m = -1.
]
Это и есть искомое значение.
