постройте график y=x2-|4x-3| определите при каких значениях m прямая y=m с графиком ровно три оьщие точки
Для начала, рассмотрим функцию \( y = x^2 - |4x - 3| \). Мы можем разделить функцию на два случая, в зависимости от выражения \( 4x - 3 \).
Случай 1: \( 4x - 3 \geq 0 \) (то есть \( x \geq \frac{3}{4} \)): \[ y = x^2 - (4x - 3) = x^2 - 4x + 3 = x^2 - 4x + 3 \]
Это парабола, открытая вверх.
Случай 2: \( 4x - 3 < 0 \) (то есть \( x < \frac{3}{4} \)): \[ y = x^2 - -(4x - 3) = x^2 + 4x - 3 \]
Это также парабола, открытая вверх.
Теперь у нас есть две функции:
- \( y_1 = x^2 - 4x + 3 \) при \( x \geq \frac{3}{4} \)
- \( y_2 = x^2 + 4x - 3 \) при \( x < \frac{3}{4} \)
Следующий шаг — найти точки пересечения графика функции с прямой \( y = m \).
Анализ первого случая
Решим уравнение: \[ x^2 - 4x + 3 = m \] или \[ x^2 - 4x + (3 - m) = 0 \]
Дискриминант этого уравнения равен: \[ D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3 - m) = 16 - 12 + 4m = 4 + 4m \]
Анализ второго случая
Теперь решим уравнение: \[ x^2 + 4x - 3 = m \] или \[ x^2 + 4x + (-3 - m) = 0 \]
Дискриминант этого уравнения равен: \[ D_2 = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3 - m) = 16 + 12 + 4m = 28 + 4m \]
Условия для трех общих точек
Чтобы прямая \( y = m \) имела ровно три общие точки, она должна пересекать одну из парабол в две точки, и другую — в одну точку.
- \( D_1 = 4 + 4m \) должно быть равно нулю, чтобы была одна точка пересечения на первой параболе.
- \( D_2 = 28 + 4m \) должно быть больше нуля, чтобы была две точки пересечения на второй параболе.
Условие для первого случая:
\[ 4 + 4m = 0 \Rightarrow m = -1 \]
Условие для второго случая:
\[ 28 + 4m > 0 \Rightarrow 4m > -28 \Rightarrow m > -7 \]
Резюме
Таким образом, прямая \( y = m \) будет иметь ровно три общие точки с графиком функции \( y = x^2 - |4x - 3| \) при \[ -7 < m = -1. \] Подводя итог, \( m \) должно находиться в интервале: \[ m = -1. \] Это и есть искомое значение.
