Для нахождения полной площади поверхности меньшего конуса, нам сначала нужно определить параметры изначального конуса (большого). Площадь поверхности конуса ( S ) складывается из площади основания и боковой площади:
[
S = S_{основания} + S_{боковая} = \pi r^2 + \pi r l,
]
где ( r ) — радиус основания, ( l ) — образующая конуса (длина наклонной стороны), и площадь поверхности конуса даётся формулой:
[
S = \pi r (r + l).
]
Имеем ( S = 4704\pi ). Следовательно,
[
\pi r (r + l) = 4704\pi.
]
Избавляемся от (\pi):
[
r (r + l) = 4704.
]
Теперь определим меньший конус. Так как сечение делит высоту конуса в отношении 1:1, это означает, что высота меньшего конуса будет равна половине высоты большего конуса, а радиус основания меньшего конуса пропорционален высоте, то есть также будет равен половине радиуса большего конуса.
Обозначим высоту исходного конуса ( h ), его радиус ( r ).
Настройка величин меньшего конуса:
- Новый радиус: ( r_1 = \frac{r}{2} )
- Новая высота: ( h_1 = \frac{h}{2} )
- Образующая меньшего конуса ( l_1 ) может быть найдена по теореме Пифагора:
[
l = \sqrt{r^2 + h^2}, \quad l_1 = \sqrt{(r/2)^2 + (h/2)^2} = \sqrt{\frac{r^2}{4} + \frac{h^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{r^2 + h^2} = \frac{l}{2}.
]
Теперь найдем полную площадь поверхности меньшего конуса ( S_1 ):
[
S_1 = \pi r_1 (r_1 + l_1) = \pi \left(\frac{r}{2}\right) \left(\frac{r}{2} + \frac{l}{2}\right).
]
Упрощаем:
[
S_1 = \pi \left(\frac{r}{2}\right) \left(\frac{r + l}{2}\right) = \frac{\pi r (r + l)}{4}.
]
Подставим ( r (r + l) = 4704 ):
[
S_1 = \frac{\pi \cdot 4704}{4} = 1176\pi.
]
Ответим на вопрос: полная площадь поверхности меньшего конуса, сокращая на (\pi), будет:
[
\boxed{1176}.
]
