Самостоятельная работа 5.1 Первообразная Вариант 2 А1. Найдите одну из первообразных для функции ƒ на R: a) f(x) = 4x 6) f(x) = 15x ^ 4 + x e) f(x) = cos x 2) f(x) = - 3 А2.…

Чтобы найти первообразные для заданных функций, воспользуемся правилами интегрирования.

А1. Найдите одну из первообразных для функции \( f \) на \( \mathbb{R} \):

a) \( f(x) = 4x \)

Первообразная: \[ F(x) = 2x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

b) \( f(x) = 15x^4 + x \)

Первообразная: \[ F(x) = 3x^5 + \frac{1}{2}x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

c) \( f(x) = \cos x \)

Первообразная: \[ F(x) = \sin x + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

d) \( f(x) = -3 \)

Первообразная: \[ F(x) = -3x + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

А2. Найдите общий вид первообразных для функции \( f \):

a) \( f(x) = 14x^6 \)

Первообразная: \[ F(x) = 2x^7 + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

b) \( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^4} \)

Сначала найдем \( f(x) \): \[ f(x) = x - \frac{1}{3x^3} + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

c) \( f(x) = 2 + \sin x \)

Первообразная: \[ F(x) = 2x - \cos x + C, \quad C \in \mathbb{R} \]

В1. Для функции \( y = x^3 - 4x \) найдите первообразную, график которой проходит через точку \( M(2; 24) \).

Сначала находим первообразную: \[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C \] Теперь подставляем точку \( M(2, 24) \): \[ F(2) = \frac{1}{4}(2^4) - 2(2^2) + C = 24 \] \[ F(2) = \frac{1}{4}(16) - 2(4) + C = 24 \] \[ 4 - 8 + C = 24 \] \[ C = 24 + 4 = 28 \] Таким образом, первообразная: \[ F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 28 \]

В2. Для функции \( y = 4 + \cos x \) найдите первообразную, график которой проходит через точку \( M\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right) \).

Сначала находим первообразную: \[ F(x) = 4x + \sin x + C \] Теперь подставляем точку \( M\left(\frac{\pi}{6}, \pi\right) \): \[ F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \pi \] \[ F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} + C = \pi \] \[ C = \pi - \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} \] \[ C = \frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2} \] Таким образом, первообразная: \[ F(x) = 4x + \sin x + \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\right) \]