Чтобы найти первообразные для заданных функций, воспользуемся правилами интегрирования.
А1. Найдите одну из первообразных для функции ( f ) на ( \mathbb{R} ):
a) ( f(x) = 4x )
Первообразная:
[
F(x) = 2x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
b) ( f(x) = 15x^4 + x )
Первообразная:
[
F(x) = 3x^5 + \frac{1}{2}x^2 + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
c) ( f(x) = \cos x )
Первообразная:
[
F(x) = \sin x + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
d) ( f(x) = -3 )
Первообразная:
[
F(x) = -3x + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
А2. Найдите общий вид первообразных для функции ( f ):
a) ( f(x) = 14x^6 )
Первообразная:
[
F(x) = 2x^7 + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
b) ( f'(x) = 1 + \frac{1}{x^4} )
Сначала найдем ( f(x) ):
[
f(x) = x - \frac{1}{3x^3} + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
c) ( f(x) = 2 + \sin x )
Первообразная:
[
F(x) = 2x - \cos x + C, \quad C \in \mathbb{R}
]
В1. Для функции ( y = x^3 - 4x ) найдите первообразную, график которой проходит через точку ( M(2; 24) ).
Сначала находим первообразную:
[
F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + C
]
Теперь подставляем точку ( M(2, 24) ):
[
F(2) = \frac{1}{4}(2^4) - 2(2^2) + C = 24
]
[
F(2) = \frac{1}{4}(16) - 2(4) + C = 24
]
[
4 - 8 + C = 24
]
[
C = 24 + 4 = 28
]
Таким образом, первообразная:
[
F(x) = \frac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 28
]
В2. Для функции ( y = 4 + \cos x ) найдите первообразную, график которой проходит через точку ( M\left(\frac{\pi}{6}; \pi\right) ).
Сначала находим первообразную:
[
F(x) = 4x + \sin x + C
]
Теперь подставляем точку ( M\left(\frac{\pi}{6}, \pi\right) ):
[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = 4\left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) + C = \pi
]
[
F\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{2\pi}{3} + \frac{1}{2} + C = \pi
]
[
C = \pi - \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2}
]
[
C = \frac{3\pi}{3} - \frac{2\pi}{3} - \frac{1}{2} = \frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}
]
Таким образом, первообразная:
[
F(x) = 4x + \sin x + \left(\frac{\pi}{3} - \frac{1}{2}\right)
]
