в каждом из 700 независимых испытаний событие а происходит с постоянной вероятностью 0,35. найти вероятность того, что событие а происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше…
В каждом из 700 независимых испытаний событие а происходит с постоянной вероятностью 0,35. найти вероятность того, что событие а происходит: точно 270 раз; меньше чем 270 и больше чем 230 раз. по Бернулли
Давайте решим задачу, используя распределение Бернулли и нормальное приближение к биномиальному распределению, поскольку количество испытаний велико.
Параметры задачи:
- Количество испытаний (n) = 700
- Вероятность успеха (p) = 0,35
- Вероятность неуспеха (q) = 1 - p = 0,65
Распределение: Событие \( A \) описывается биномиальным распределением: \( X \sim B(n, p) \), где \( n = 700 \) и \( p = 0,35 \).
Математическое ожидание и стандартное отклонение:
- Математическое ожидание: \[ \mu = n \cdot p = 700 \cdot 0,35 = 245 \]
- Стандартное отклонение: \[ \sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{700 \cdot 0,35 \cdot 0,65} \approx 13,24 \]
Вероятность того, что событие \( A \) происходит точно 270 раз:
- Для вычисления вероятности \( P(X = 270) \) можно использовать формулу биномиального распределения: \[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} \] Так как n велико, можно использовать нормальное приближение. Приведем 270 к стандартной нормальной переменной: \[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} = \frac{270 - 245}{13,24} \approx 1,89 \] Используем таблицу стандартного нормального распределения для нахождения вероятности. Поскольку \( P(X = 270) \) стало бы почти нулевым, проще вычислить площадь под кривой нормального распределения, используя: \[ P(269.5 < X < 270.5) \approx P(1.75 < Z < 1.88) \]
Вероятность того, что событие \( A \) происходит меньше чем 270 раз: \[ P(X < 270) = P(Z < 1,89) \] Смотрим в таблице стандартного нормального распределения, чтобы найти \( P(Z < 1.89) \approx 0.9706 \).
Вероятность того, что событие \( A \) происходит больше чем 230 раз: \[ P(X > 230) = 1 - P(X \leq 230) = 1 - P(Z < \frac{230 - 245}{13.24}) = 1 - P(Z < -1.13) \] Смотрим в таблице стандартного нормального распределения, чтобы найти \( P(Z < -1.13) \approx 0.1292 \), тогда \[ P(X > 230) \approx 1 - 0.1292 = 0.8708. \]
Таким образом, окончательные вероятности:
- Вероятность того, что событие \( A \) происходит точно 270 раз: можно считать незначительной.
- Вероятность того, что событие \( A \) происходит меньше чем 270 раз: примерно 0.9706.
- Вероятность того, что событие \( A \) происходит больше чем 230 раз: примерно 0.8708.
