1∫²(x+1/x) dx решить интегралы

Давайте решим интеграл \( \int_1^2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx \).

1. Разобьем наш интеграл на две части: \[ \int_1^2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx = \int_1^2 x \, dx + \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx \]

2. Рассчитаем первый интеграл: \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] Вычислим его с пределами 1 и 2: \[ \int_1^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_1^2 = \left( \frac{2^2}{2} \right) - \left( \frac{1^2}{2} \right) = \left( \frac{4}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} \right) = 2 - 0.5 = 1.5 \]

3. Теперь найдем второй интеграл: \[ \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C \] Вычислим его с пределами 1 и 2: \[ \int_1^2 \frac{1}{x} \, dx = \left[ \ln |x| \right]_1^2 = \ln(2) - \ln(1) = \ln(2) - 0 = \ln(2) \]

4. Теперь складываем результаты: \[ \int_1^2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx = 1.5 + \ln(2) \]

Таким образом, результат интеграла: \[ \int_1^2 \left( x + \frac{1}{x} \right) \, dx = 1.5 + \ln(2) \]