Пусть (ABC) - прямоугольный треугольник, где ( \angle C ) - прямой угол. Пусть (\angle A) и (\angle B) - острые углы. Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, имеем:
[
\angle A + \angle B = 90°
]
По условию задачи, биссектрисса наименьшего угла пересекает катет под углом 110°. Поскольку угол ( \angle A ) меньше угла ( \angle B ), то наименьший угол – это ( \angle A ).
Биссектрисса угла (A) делит его на два угла по ( \frac{1}{2} \angle A). Когда она пересекает катет, образуется угол 110° с этим катетом. Таким образом, можем записать:
[
\frac{1}{2} \angle A + 110° = 90°
]
Решим это уравнение для (\angle A):
[
\frac{1}{2} \angle A = 90° - 110°
]
[
\frac{1}{2} \angle A = -20°
]
В этом случае мы заметили, что сразу получаем отрицательное значение, что невозможно для угла. Следовательно, должно быть:
[
\frac{1}{2} \angle A = 110° - 90°
]
[
\frac{1}{2} \angle A = 20°
]
[
\angle A = 40°
]
Теперь найдем угол ( \angle B ):
[
\angle B = 90° - \angle A = 90° - 40° = 50°
]
Таким образом, острые углы треугольника (ABC):
[
\angle A = 40°, \quad \angle B = 50°
]
