Решите систему уравнений используя способ сложения или постановки
Решим систему уравнений:
- \( 3x^2 - 2y = 1 \)
- \( 2x^2 - y^2 = 1 \)
Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим \( y^2 \):
\[ y^2 = 2x^2 - 1 \]
Подставим \( y \) в первое уравнение. Для этого сначала выразим \( y \):
\[ y = \pm \sqrt{2x^2 - 1} \]
Подставим это выражение в первое уравнение:
\[ 3x^2 - 2(\pm \sqrt{2x^2 - 1}) = 1 \]
Рассмотрим отдельно два случая:
\( y = \sqrt{2x^2 - 1} \)
\[ 3x^2 - 2\sqrt{2x^2 - 1} = 1 \]
Решаем относительно \( x \):
\[ 2\sqrt{2x^2 - 1} = 3x^2 - 1 \]
Тогда:
\[ \sqrt{2x^2 - 1} = \frac{3x^2 - 1}{2} \]
Возведем обе части в квадрат:
\[ 2x^2 - 1 = \left( \frac{3x^2 - 1}{2} \right)^2 \]
\[ 2x^2 - 1 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} \]
Умножим обе части на 4:
\[ 8x^2 - 4 = (3x^2 - 1)^2 \]
Решаем это уравнение. Раскрываем скобки справа:
\[ 8x^2 - 4 = 9x^4 - 6x^2 + 1 \]
Приведем все к одной части уравнения:
\[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \]
Это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Обозначим \( z = x^2 \):
\[ 9z^2 - 14z + 5 = 0 \]
Решим это квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = (-14)^2 - 4 \times 9 \times 5 = 196 - 180 = 16 \]
Найдем корни уравнения:
\[ z_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{18} \]
\[ z_1 = \frac{14 + 4}{18} = 1 \]
\[ z_2 = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \]
Соответственно, \( x^2 = 1 \) или \( x^2 = \frac{5}{9} \).
Для \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \).
Для \( x^2 = \frac{5}{9} \), \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \).
Посчитаем \( y \) для этих значений \( x \).
Для \( x = 1 \) или \( x = -1 \):
\( y = \sqrt{2 \times 1 - 1} = \sqrt{1} = 1 \) или \( y = -1 \).
Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \) или \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \):
\( y = \sqrt{2 \times \frac{5}{9} - 1} = 0 \).
Соответственно, решения системы:
- \( (1, 1) \)
- \( (-1, 1) \)
- \( (1, -1) \)
- \( (-1, -1) \)
- \( \left(\frac{\sqrt{5}}{3}, 0\right) \)
- \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, 0\right) \)
