Решите систему уравнений используя способ сложения или постановки

Решим систему уравнений: 1. \( 3x^2 - 2y = 1 \) 2. \( 2x^2 - y^2 = 1 \) Используем метод подстановки. Из второго уравнения выразим \( y^2 \): \[ y^2 = 2x^2 - 1 \] Подставим \( y \) в первое уравнение. Для этого сначала выразим \( y \): \[ y = \pm \sqrt{2x^2 - 1} \] Подставим это выражение в первое уравнение: \[ 3x^2 - 2(\pm \sqrt{2x^2 - 1}) = 1 \] Рассмотрим отдельно два случая: 1. \( y = \sqrt{2x^2 - 1} \) \[ 3x^2 - 2\sqrt{2x^2 - 1} = 1 \] Решаем относительно \( x \): \[ 2\sqrt{2x^2 - 1} = 3x^2 - 1 \] Тогда: \[ \sqrt{2x^2 - 1} = \frac{3x^2 - 1}{2} \] Возведем обе части в квадрат: \[ 2x^2 - 1 = \left( \frac{3x^2 - 1}{2} \right)^2 \] \[ 2x^2 - 1 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} \] Умножим обе части на 4: \[ 8x^2 - 4 = (3x^2 - 1)^2 \] Решаем это уравнение. Раскрываем скобки справа: \[ 8x^2 - 4 = 9x^4 - 6x^2 + 1 \] Приведем все к одной части уравнения: \[ 9x^4 - 14x^2 + 5 = 0 \] Это квадратное уравнение относительно \( x^2 \). Обозначим \( z = x^2 \): \[ 9z^2 - 14z + 5 = 0 \] Решим это квадратное уравнение: Дискриминант: \[ D = (-14)^2 - 4 \times 9 \times 5 = 196 - 180 = 16 \] Найдем корни уравнения: \[ z_{1,2} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{18} \] \[ z_1 = \frac{14 + 4}{18} = 1 \] \[ z_2 = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \] Соответственно, \( x^2 = 1 \) или \( x^2 = \frac{5}{9} \). Для \( x^2 = 1 \), \( x = \pm 1 \). Для \( x^2 = \frac{5}{9} \), \( x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \). 2. Посчитаем \( y \) для этих значений \( x \). - Для \( x = 1 \) или \( x = -1 \): \( y = \sqrt{2 \times 1 - 1} = \sqrt{1} = 1 \) или \( y = -1 \). - Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \) или \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \): \( y = \sqrt{2 \times \frac{5}{9} - 1} = 0 \). Соответственно, решения системы: 1. \( (1, 1) \) 2. \( (-1, 1) \) 3. \( (1, -1) \) 4. \( (-1, -1) \) 5. \( \left(\frac{\sqrt{5}}{3}, 0\right) \) 6. \( \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}, 0\right) \)