вычислите предел последовательности lim при n стремится к бесконечности (1/3^n) *sin 3^n
Для вычисления предела последовательности \( a_n = \frac{1}{3^n} \sin(3^n) \) при \( n \) стремящемся к бесконечности, давайте рассмотрим поведение каждой части выражения.
Часть \(\frac{1}{3^n}\): Эта часть стремится к \( 0 \) при \( n \to \infty \), так как \( 3^n \) растёт быстрее, чем любой полином или тригонометрическая функция.
Часть \(\sin(3^n)\): Значение \(\sin(3^n)\) может колебаться в диапазоне от \(-1\) до \(1\), так как синус — это функция, периодически принимающая все значения от \(-1\) до \(1\). Поэтому, независимо от того, какой у вас \( n \), \(\sin(3^n)\) будет оставаться ограниченной.
Теперь рассмотрим полный предел:
\[ |a_n| = \left| \frac{1}{3^n} \sin(3^n) \right| \leq \frac{1}{3^n} \cdot 1 = \frac{1}{3^n} \]
Поскольку \(\frac{1}{3^n} \to 0\) при \( n \to \infty\), по принципу сжатия также следует, что \( a_n \to 0 \).
Таким образом, предел последовательности будет:
\[ \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \]
Ответ:
\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{3^n} \sin(3^n) = 0 \]
