Найдите корни уравнения: а) 2y+3/2y-1 = y-5/y+3 б) 5y+1/y+1 = y+2/y в) 1+3x/1-2x = 5-3x/1+2x г) x-1/2x+3 – 2x-1/3-2x = 0

Давайте решим все уравнения по порядку.

а) \( \frac{2y + 3}{2y - 1} = \frac{y - 5}{y + 3} \)

1. Умножим обе стороны на \( (2y - 1)(y + 3) \): \[ (2y + 3)(y + 3) = (y - 5)(2y - 1) \]

2. Раскроем скобки: \[ 2y^2 + 9y + 9 = 2y^2 - y - 10 \]

3. Переносим все в одну сторону: \[ 2y^2 + 9y + 9 - 2y^2 + y + 10 = 0 \] \[ 10y + 19 = 0 \]

4. Находим \( y \): \[ y = -\frac{19}{10} \]

б) \( \frac{5y + 1}{y + 1} = \frac{y + 2}{y} \)

1. Умножим обе стороны на \( y(y + 1) \): \[ (5y + 1)y = (y + 2)(y + 1) \]

2. Раскроем скобки: \[ 5y^2 + y = y^2 + 3y + 2 \]

3. Переносим всё в одну сторону: \[ 5y^2 + y - y^2 - 3y - 2 = 0 \] \[ 4y^2 - 2y - 2 = 0 \]

4. Упрощаем уравнение: \[ 2y^2 - y - 1 = 0 \]

5. Находим корни с помощью дискриминанта: \[ D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 \] \[ y = \frac{-(-1) \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{1 \pm 3}{4} \] \[ y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{1}{2} \]

в) \( \frac{1 + 3x}{1 - 2x} = \frac{5 - 3x}{1 + 2x} \)

1. Умножим обе стороны на \( (1 - 2x)(1 + 2x) \): \[ (1 + 3x)(1 + 2x) = (5 - 3x)(1 - 2x) \]

2. Раскроем скобки: \[ 1 + 2x + 3x + 6x^2 = 5 - 10x - 3x + 6x^2 \] \[ 1 + 5x + 6x^2 = 5 - 13x + 6x^2 \]

3. Переносим всё в одну сторону: \[ 1 + 5x - 5 + 13x = 0 \] \[ 18x - 4 = 0 \]

4. Находим \( x \): \[ x = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} \]

г) \( \frac{x - 1}{2x + 3} - \frac{2x - 1}{3 - 2x} = 0 \)

1. Приведем к общему знаменателю: \[ \frac{(x - 1)(3 - 2x) - (2x - 1)(2x + 3)}{(2x + 3)(3 - 2x)} = 0 \]

2. Решаем только числитель: \[ (x - 1)(3 - 2x) - (2x - 1)(2x + 3) = 0 \] Раскроем скобки: \[ 3x - 2x^2 - 3 + 2x - (4x^2 + 6x - 2x - 3) = 0 \] \[ 5x - 2x^2 - 3 - 4x^2 - 6x + 2x + 3 = 0 \] \[ -6x^2 + 5x = 0 \]

   Факторизуем: \[ x(-6x + 5) = 0 \]

   Находим корни: \[ x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{5}{6} \]

Ответы:

а) \( y = -\frac{19}{10} \)
б) \( y_1 = 1, \quad y_2 = -\frac{1}{2} \)
в) \( x = \frac{2}{9} \)
г) \( x_1 = 0, \quad x_2 = \frac{5}{6} \)