Из точки М проведены к плоскости две наклонные МА и МВ, равные 10 и 17. вычислить расстояние от М до плоскости, если длины проекций наклонных пропорциональны числам 2 и 5.

Обозначим расстояние от точки \( M \) до плоскости как \( h \). Обозначим проекции наклонных \( MA \) и \( MB \) на высоту \( h \) как \( x_1 \) и \( x_2 \), соответственно. По условию задачи, длины проекций пропорциональны 2 и 5, поэтому можно записать:

\[ \frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{5} \]

Длину наклонной можно выразить через проекцию и высоту с помощью теоремы Пифагора:

\[ MA^2 = h^2 + x_1^2 \] \[ MB^2 = h^2 + x_2^2 \]

Зная длины наклонных \( MA = 10 \) и \( MB = 17 \), получаем две уравнения:

\[ 10^2 = h^2 + x_1^2 \quad (1) \] \[ 17^2 = h^2 + x_2^2 \quad (2) \]

Теперь подставим из пропорции выражение для \( x_2 \):

\[ x_2 = \frac{5}{2} x_1 \]

Подставим \( x_2 \) в (2):

\[ 17^2 = h^2 + \left(\frac{5}{2} x_1\right)^2 \] \[ 289 = h^2 + \frac{25}{4} x_1^2 \quad (3) \]

Теперь выразим \( x_1^2 \) из (1):

\[ 100 = h^2 + x_1^2 \implies x_1^2 = 100 - h^2 \quad (4) \]

Теперь подставим (4) в (3):

\[ 289 = h^2 + \frac{25}{4} (100 - h^2) \] \[ 289 = h^2 + 625 - \frac{25}{4} h^2 \] \[ 289 = 625 - \frac{21}{4} h^2 \] \[ \frac{21}{4} h^2 = 625 - 289 \] \[ \frac{21}{4} h^2 = 336 \] \[ h^2 = \frac{336 \cdot 4}{21} = \frac{1344}{21} = 64 \] \[ h = \sqrt{64} = 8 \]

Таким образом, расстояние от точки \( M \) до плоскости равно \( 8 \) единиц.