Обозначим расстояние от точки ( M ) до плоскости как ( h ). Обозначим проекции наклонных ( MA ) и ( MB ) на высоту ( h ) как ( x_1 ) и ( x_2 ), соответственно. По условию задачи, длины проекций пропорциональны 2 и 5, поэтому можно записать:
[
\frac{x_1}{x_2} = \frac{2}{5}
]
Длину наклонной можно выразить через проекцию и высоту с помощью теоремы Пифагора:
[
MA^2 = h^2 + x_1^2
]
[
MB^2 = h^2 + x_2^2
]
Зная длины наклонных ( MA = 10 ) и ( MB = 17 ), получаем две уравнения:
[
10^2 = h^2 + x_1^2 \quad (1)
]
[
17^2 = h^2 + x_2^2 \quad (2)
]
Теперь подставим из пропорции выражение для ( x_2 ):
[
x_2 = \frac{5}{2} x_1
]
Подставим ( x_2 ) в (2):
[
17^2 = h^2 + \left(\frac{5}{2} x_1\right)^2
]
[
289 = h^2 + \frac{25}{4} x_1^2 \quad (3)
]
Теперь выразим ( x_1^2 ) из (1):
[
100 = h^2 + x_1^2 \implies x_1^2 = 100 - h^2 \quad (4)
]
Теперь подставим (4) в (3):
[
289 = h^2 + \frac{25}{4} (100 - h^2)
]
[
289 = h^2 + 625 - \frac{25}{4} h^2
]
[
289 = 625 - \frac{21}{4} h^2
]
[
\frac{21}{4} h^2 = 625 - 289
]
[
\frac{21}{4} h^2 = 336
]
[
h^2 = \frac{336 \cdot 4}{21} = \frac{1344}{21} = 64
]
[
h = \sqrt{64} = 8
]
Таким образом, расстояние от точки ( M ) до плоскости равно ( 8 ) единиц.
