Баптық тең шамалы тіктөртбұрыштардың ішіндегі шаршының периметрі ең кіші екенін дәлелдеу үшін, алдымен "баптық тең шамалы" деген сөздің не екенін түсініп алайық. Баптық тең шамалылығы – бұл ауданы бірдей болатын көпбұрыштардың қасиеті.
Екі түрлі фигураны, атап айтқанда, тіктөртбұрышты және шаршыны қарастырайық. Тіктөртбұрыштың ұзындығы ( a ) және ені ( b ) деп алайық. Сонда оның ауданы:
[ S = a \cdot b. ]
Сол сияқты, шаршының қабырғасы ( c ) болса, оның ауданы:
[ S_{sh} = c^2. ]
Егер тіктөртбұрыш пен шаршының аудандары тең болса, онда:
[ a \cdot b = c^2. ]
Енді тіктөртбұрыштың периметрін қарастырайық:
[ P_{rectangle} = 2(a + b). ]
Шаршының периметрі:
[ P_{square} = 4c. ]
Біз ( 4c )-ны ( a ) және ( b ) арқылы қайта жаза аламыз. Тіктөртбұрыштың периметрін минимизациялау үшін, ( a ) және ( b )-ның арасында қандай да бір шектеу бар екенін білеміз.
Ауданы берілген, сондықтан біз:
[ c = \sqrt{ab} ]
және ( P_{square} = 4\sqrt{ab} ).
Тіктөртбұрыштан келесі теңсіздікті пайдалана отырып, мына теңсіздік шығара аламыз:
[(a - b)^2 \geq 0,]
яғни, ( a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 ).
Осыдан:
[ a^2 + b^2 \geq 2ab. ]
Тіктөртбұрыштың периметрін теңдестіре отырып:
[
P_{rectangle} = 2(a + b) \geq 2 \cdot 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{ab}.
]
Осылайша, біз талдауымызды аяқтағанда:
[
P_{rectangle} \geq P_{square}.
]
Осылайша, теңдестік тек ( a = b ) болғанда ғана орын алады, яғни тіктөртбұрыш шаршыға айналады. Осының арқасында, біз баптық тең шамалы тіктөртбұрыштардың ішінде шаршының периметрі ең кішісі екендігін дәлелдедік.
