Баплық тең шамалы тіктөртбұрыштардың ішінде шаршының периметрі ең кіші болатынын дәлелдеңдер.

Баптық тең шамалы тіктөртбұрыштардың ішіндегі шаршының периметрі ең кіші екенін дәлелдеу үшін, алдымен "баптық тең шамалы" деген сөздің не екенін түсініп алайық. Баптық тең шамалылығы – бұл ауданы бірдей болатын көпбұрыштардың қасиеті.

Екі түрлі фигураны, атап айтқанда, тіктөртбұрышты және шаршыны қарастырайық. Тіктөртбұрыштың ұзындығы \( a \) және ені \( b \) деп алайық. Сонда оның ауданы:

\[ S = a \cdot b. \]

Сол сияқты, шаршының қабырғасы \( c \) болса, оның ауданы:

\[ S_{sh} = c^2. \]

Егер тіктөртбұрыш пен шаршының аудандары тең болса, онда:

\[ a \cdot b = c^2. \]

Енді тіктөртбұрыштың периметрін қарастырайық:

\[ P_{rectangle} = 2(a + b). \]

Шаршының периметрі:

\[ P_{square} = 4c. \]

Біз \( 4c \)-ны \( a \) және \( b \) арқылы қайта жаза аламыз. Тіктөртбұрыштың периметрін минимизациялау үшін, \( a \) және \( b \)-ның арасында қандай да бір шектеу бар екенін білеміз.

Ауданы берілген, сондықтан біз:

\[ c = \sqrt{ab} \]

және \( P_{square} = 4\sqrt{ab} \).

Тіктөртбұрыштан келесі теңсіздікті пайдалана отырып, мына теңсіздік шығара аламыз:

\[(a - b)^2 \geq 0,\]

яғни, \( a^2 - 2ab + b^2 \geq 0 \).

Осыдан:

\[ a^2 + b^2 \geq 2ab. \]

Тіктөртбұрыштың периметрін теңдестіре отырып:

\[ P_{rectangle} = 2(a + b) \geq 2 \cdot 2\sqrt{ab} = 4\sqrt{ab}. \]

Осылайша, біз талдауымызды аяқтағанда:

\[ P_{rectangle} \geq P_{square}. \]

Осылайша, теңдестік тек \( a = b \) болғанда ғана орын алады, яғни тіктөртбұрыш шаршыға айналады. Осының арқасында, біз баптық тең шамалы тіктөртбұрыштардың ішінде шаршының периметрі ең кішісі екендігін дәлелдедік.