1. В равностороннем треугольнике АВС проведены медианы СМ и ВК. Докажите, что triangle BMC = triangle BKC . 2. В треугольниках АВС и A_{1}*B_{1}*C_{1} высоты BD и B_{1}*D_{1} равны и де- лят стороны АС и A_{1}*C_{1} на соответственно равные отрезки: AD = = A_{1}*D_{1} и CD = C_{1}*D_{1} . Докажите, что Delta*ABC = Delta*A_{1}*B_{1}*C_{1} . 3. Чему равны внутренние односторонние углы при двух парал- лельных прямых и секущей, если один из них в 2 раза меньше дру- гого?

1. Для доказательства равенства треугольников \( \triangle BMC \) и \( \triangle BKC \) в равностороннем треугольнике \( ABC \), учтем, что медианы \( CM \) и \( BK \) пересекаются в точке \( O \), которая является центроидом треугольника. Так как треугольник равносторонний, все его медианы равны и делятся в отношении 2:1. Значит, \( BM = BK \) и \( CM = CK \). Угол \( BMC \) равен углу \( BKC \) (так как аналогичные углы при равностороннем треугольнике равны). С учетом равенства двух сторон и равенства угла, по критерию сравнения треугольников по двум сторонам и углу между ними, мы можем заключить, что \( \triangle BMC \cong \triangle BKC \). 2. В треугольниках \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) высоты \( BD \) и \( B_1D_1 \) равны, и отрезки \( AD \) и \( A_1D_1 \) равны, а \( CD \) и \( C_1D_1 \) — также равны. Таким образом, стороны \( AC \) и \( A_1C_1 \) делятся на равные части, и высоты, опущенные на стороны, равны. Это значит, что площади треугольников \( ABC \) и \( A_1B_1C_1 \) равны, так как площадь треугольника определяется как \( \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \). Отсюда следует, что \( \Delta ABC = \Delta A_1B_1C_1 \). 3. Внутренние односторонние углы при двух параллельных прямых и секущей имеют следующее свойство: если один угол в 2 раза меньше другого, то пусть меньший угол равен \( x \). Тогда больший угол будет равен \( 2x \). Так как внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей равны, имеем: \[ x + 2x = 180^\circ \] Отсюда \( 3x = 180^\circ \), тогда \( x = 60^\circ \) и \( 2x = 120^\circ \). Таким образом, один угол равен \( 60^\circ \), а другой — \( 120^\circ \).