Найдите длину отрезка MN и координаты его середины, если M (–4; 3) и N (6; –5).

Чтобы найти длину отрезка MN и координаты его середины, воспользуемся следующими формулами:

1. Длина отрезка MN: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] где \( M(x_1, y_1) = (-4, 3) \) и \( N(x_2, y_2) = (6, -5) \).

   Подставим значения: \[ d = \sqrt{(6 - (-4))^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(6 + 4)^2 + (-5 - 3)^2} = \sqrt{(10)^2 + (-8)^2} \] \[ d = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41} \]

2. Координаты середины отрезка MN: \[ M_{mid} = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right) \] Подставим значения: \[ M_{mid} = \left( \frac{-4 + 6}{2}, \frac{3 + (-5)}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{-2}{2} \right) = (1, -1) \]

Таким образом, длина отрезка MN составляет \( 2\sqrt{41} \), а координаты его середины — \( (1, -1) \).