разложите функцию y=cos 3x по формуле Маклорена. найдите приближённое значение выражения cos 3 как сумму первых трёх ненулевых слагаемых. результат представьте в виде обыкновенной…

Чтобы разложить функцию \( y = \cos(3x) \) по формуле Маклорена, мы используем разложение функции \( \cos(x) \):

\[ \cos(x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \ldots \]

Теперь заменим \( x \) на \( 3x \):

\[ \cos(3x) = 1 - \frac{(3x)^2}{2!} + \frac{(3x)^4}{4!} - \frac{(3x)^6}{6!} + \ldots \]

Расписывая это, получаем:

\[ \cos(3x) = 1 - \frac{9x^2}{2} + \frac{81x^4}{24} - \frac{729x^6}{720} + \ldots \]

Теперь найдем приближенное значение \( \cos(3) \) как сумму первых трех ненулевых слагаемых при \( x = 1 \):

\[ \cos(3) \approx 1 - \frac{9 \cdot 1^2}{2} + \frac{81 \cdot 1^4}{24} \]

Вычисляем значения слагаемых:

1. Первое слагаемое: \( 1 \)
2. Второе слагаемое: \( -\frac{9}{2} = -4.5 \)
3. Третье слагаемое: \( \frac{81}{24} = \frac{27}{8} \)

Теперь сложим эти слагаемые:

\[ \cos(3) \approx 1 - 4.5 + \frac{27}{8} \]

Чтобы сложить дроби, приведем к общему знаменателю. Знаменатель у 1 и \(-4.5\) равен \(8\):

\[ 1 = \frac{8}{8}, \quad -4.5 = -\frac{36}{8} \]

Теперь можем сложить:

\[ \cos(3) \approx \frac{8}{8} - \frac{36}{8} + \frac{27}{8} = \frac{8 - 36 + 27}{8} = \frac{-1}{8} \]

Таким образом, приближенное значение \( \cos(3) \) как сумма первых трех ненулевых слагаемых разложения Маклорена равно:

\[ \cos(3) \approx \frac{-1}{8} \]