Реши задание 1003
Для решения задания нам нужно найти уравнение окружности, проходящей через три заданные точки: \(A(7, 2)\), \(B(8, 9)\) и \(C(5, 8)\).
Окружность имеет уравнение:
\[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = R^2 \]
Нам нужно найти \(x_0\), \(y_0\) и \(R\).
Подставляем координаты трех точек в уравнение окружности:
\[ \begin{cases} (7 - x_0)^2 + (2 - y_0)^2 = R^2 \\ (8 - x_0)^2 + (9 - y_0)^2 = R^2 \\ (5 - x_0)^2 + (8 - y_0)^2 = R^2 \end{cases} \]
Это система трех уравнений. Раскроем скобки:
\[ \begin{cases} 49 - 14x_0 + x_0^2 + 4 - 4y_0 + y_0^2 = R^2 \\ 64 - 16x_0 + x_0^2 + 81 - 18y_0 + y_0^2 = R^2 \\ 25 - 10x_0 + x_0^2 + 64 - 16y_0 + y_0^2 = R^2 \end{cases} \]
Упростим каждое уравнение:
\[ \begin{cases} x_0^2 + y_0^2 - 14x_0 - 4y_0 + 53 = R^2 \\ x_0^2 + y_0^2 - 16x_0 - 18y_0 + 145 = R^2 \\ x_0^2 + y_0^2 - 10x_0 - 16y_0 + 89 = R^2 \end{cases} \]
Вычтем первое уравнение из второго и из третьего, чтобы избавиться от \(R^2\):
\[ \begin{cases} -2x_0 - 14y_0 + 92 = 0 \\ 4x_0 - 12y_0 + 36 = 0 \end{cases} \]
Упростим уравнения:
\[ \begin{cases} x_0 + 7y_0 = 46 \\ 2x_0 - 6y_0 = -18 \end{cases} \]
Решим систему:
Из второго уравнения: \[ x_0 = 3y_0 - 9 \]
Подставим это в первое уравнение: \[ 3y_0 - 9 + 7y_0 = 46 \\ 10y_0 = 55 \\ y_0 = 5.5 \]
Найдем \(x_0\): \[ x_0 = 3(5.5) - 9 = 16.5 - 9 = 7.5 \]
Найдем \(R\), подставив \(x_0\) и \(y_0\) в одно из уравнений: \[ (7 - 7.5)^2 + (2 - 5.5)^2 = R^2 \\ 0.25 + 12.25 = R^2 \\ R^2 = 12.5 \\ R = \sqrt{12.5} \]
Итак, уравнение окружности: \[ (x - 7.5)^2 + (y - 5.5)^2 = 12.5 \]
