Чтобы решить систему неравенств:
- ( x^2 + x - 12 \leq 0 )
- ( 8 + 2x \leq 0 )
Начнем с первого неравенства.
1) ( x^2 + x - 12 \leq 0 )
Сначала найдем корни квадратного уравнения ( x^2 + x - 12 = 0 ) с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49
]
Корни находятся по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 7}{2}
]
Корни:
[
x_1 = \frac{6}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-8}{2} = -4
]
Теперь мы имеем корни ( x_1 = 3 ) и ( x_2 = -4 ).
Функция ( x^2 + x - 12 ) — парабола, открывающаяся вверх. Она будет меньше или равна нулю между корнями, так что неравенство выполняется на интервале:
[
[-4, 3]
]
2) ( 8 + 2x \leq 0 )
Теперь решим второе неравенство:
[
2x \leq -8 \implies x \leq -4
]
Объединим результаты
Теперь у нас есть два результата:
- ( x \in [-4, 3] )
- ( x \leq -4 )
Согласно этим условиям, единственным значением из первого промежутка, удовлетворяющим второму неравенству, является ( x = -4 ).
Ответ
Таким образом, решение системы неравенств:
[
\boxed{-4}
]
