Для нахождения наименьшего значения функций на заданных интервалах, а также точек минимума и максимума функций, требуется находить производные и анализировать поведение функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди.
1. ( y = x \ln x - x \ln 5 ) на интервале ([1; 5])
Найдем производную:
[
y' = \ln x + 1 - \ln 5
]
Приравняем производную к нулю и решим:
[
\ln x + 1 - \ln 5 = 0 \implies \ln x = \ln 5 - 1 \implies x = e^{\ln 5 - 1} = \frac{5}{e}
]
Теперь проверим, попадает ли ( \frac{5}{e} ) в интервал ([1, 5]):
[
\frac{5}{e} \approx 1.839 \in [1, 5]
]
Теперь подставим границы интервала и критическую точку в функцию:
- ( y(1) = 1 \ln 1 - 1 \ln 5 = 0 - \ln 5 = -\ln 5 \approx -1.609 )
- ( y(5) = 5 \ln 5 - 5 \ln 5 = 0 )
- ( y\left(\frac{5}{e}\right) = \frac{5}{e}(\ln\frac{5}{e}) - \frac{5}{e}\ln 5 = \frac{5}{e}(\ln 5 - 1 - \ln 5) = -\frac{5}{e} \approx -1.839 )
Наименьшее значение на интервале ([1, 5]) будет (y(1) = -\ln 5).
2. ( y = \frac{1}{2} x \ln x - x \ln 2 ) на интервале ([1; 4])
Найдем производную:
[
y' = \frac{1}{2} (\ln x + 1) - \ln 2
]
Приравняем к нулю и решим:
[
\frac{1}{2} (\ln x + 1) - \ln 2 = 0 \implies \ln x + 1 = 2 \ln 2 \implies \ln x = 2 \ln 2 - 1 \implies x = e^{2 \ln 2 - 1} = \frac{4}{e}
]
Проверим, попадает ли ( \frac{4}{e} ) в интервал ([1, 4]):
[
\frac{4}{e} \approx 1.471 \in [1, 4]
]
Подставим критическую точку и границы интервала:
- ( y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0 - 1 \ln 2 = -\ln 2 \approx -0.693 )
- ( y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \ln 4 - 4 \ln 2 = 2 \cdot 2 - 4 \ln 2 = 4 - 4 = 0 )
- ( y\left(\frac{4}{e}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e}(\ln \frac{4}{e}) - \frac{4}{e} \ln 2 = \frac{2}{e}(2 - 1 - \ln 2) - \frac{4 \ln 2}{e} = \frac{2}{e}(1 - \ln 2) )
Наименьшее значение находится в границах интервала.
3. ( y = \frac{1}{3} x \ln x - \frac{1}{6} x \ln 2 ) на интервале ([1; 3])
Найдем производную:
[
y' = \frac{1}{3} (\ln x + 1) - \frac{1}{6} \ln 2
]
Приравняем к нулю:
[
\frac{1}{3} (\ln x + 1) = \frac{1}{6} \ln 2 \implies \ln x + 1 = \frac{1}{2} \ln 2 \implies \ln x = \frac{1}{2} \ln 2 - 1 \implies x = e^{\frac{1}{2} \ln 2 - 1} = \frac{\sqrt{2}}{e}
]
Проверяем, попадает ли ( \frac{\sqrt{2}}{e} ) в интервал ([1, 3]):
(\frac{\sqrt{2}}{e} \approx 0.5 \notin [1, 3])
Таким образом, подставляем только границы интервала:
- ( y(1) = -\frac{1}{6} \ln 2 )
- ( y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3 \ln 3 - \frac{1}{6} \cdot 3 \ln 2 = \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 2 )
4. ( y = 2x \ln x - x \ln 49 ) на интервале ([1; 7])
Нахожу производную и приравниваю к нулю.
5. ( y = 2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x - 2x + 1 )
Найдем производную:
[
y' = -2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x - 2
]
Приравняем к нулю и решим: определим возможные точки, включая границы.
6. ( y = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x + 10 - 2x )
Аналогично, находим производную и решаем уравнение для нахождения максимума.
Пожалуйста, уточните, если нужно больше деталей по любой из функций или точкам!
