у=х*lnx-x*ln5 найти наименьшее значение [1;5] y=1/2*x*lnx-x*ln2 найти наименьшее значение [1;4] y=1/3*x*lnx-1/6x*ln2 найти наименьшее значение [1;3] y=2*x*lnx-x*ln49 найти…

Для нахождения наименьшего значения функций на заданных интервалах, а также точек минимума и максимума функций, требуется находить производные и анализировать поведение функций. Давайте рассмотрим каждую функцию по очереди.

1. \( y = x \ln x - x \ln 5 \) на интервале \([1; 5]\)

Найдем производную:

\[ y' = \ln x + 1 - \ln 5 \]

Приравняем производную к нулю и решим:

\[ \ln x + 1 - \ln 5 = 0 \implies \ln x = \ln 5 - 1 \implies x = e^{\ln 5 - 1} = \frac{5}{e} \]

Теперь проверим, попадает ли \( \frac{5}{e} \) в интервал \([1, 5]\):

\[ \frac{5}{e} \approx 1.839 \in [1, 5] \]

Теперь подставим границы интервала и критическую точку в функцию:

• \( y(1) = 1 \ln 1 - 1 \ln 5 = 0 - \ln 5 = -\ln 5 \approx -1.609 \)
• \( y(5) = 5 \ln 5 - 5 \ln 5 = 0 \)
• \( y\left(\frac{5}{e}\right) = \frac{5}{e}(\ln\frac{5}{e}) - \frac{5}{e}\ln 5 = \frac{5}{e}(\ln 5 - 1 - \ln 5) = -\frac{5}{e} \approx -1.839 \)

Наименьшее значение на интервале \([1, 5]\) будет \(y(1) = -\ln 5\).

2. \( y = \frac{1}{2} x \ln x - x \ln 2 \) на интервале \([1; 4]\)

Найдем производную:

\[ y' = \frac{1}{2} (\ln x + 1) - \ln 2 \]

Приравняем к нулю и решим:

\[ \frac{1}{2} (\ln x + 1) - \ln 2 = 0 \implies \ln x + 1 = 2 \ln 2 \implies \ln x = 2 \ln 2 - 1 \implies x = e^{2 \ln 2 - 1} = \frac{4}{e} \]

Проверим, попадает ли \( \frac{4}{e} \) в интервал \([1, 4]\):

\[ \frac{4}{e} \approx 1.471 \in [1, 4] \]

Подставим критическую точку и границы интервала:

• \( y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot 0 - 1 \ln 2 = -\ln 2 \approx -0.693 \)
• \( y(4) = \frac{1}{2} \cdot 4 \ln 4 - 4 \ln 2 = 2 \cdot 2 - 4 \ln 2 = 4 - 4 = 0 \)
• \( y\left(\frac{4}{e}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{e}(\ln \frac{4}{e}) - \frac{4}{e} \ln 2 = \frac{2}{e}(2 - 1 - \ln 2) - \frac{4 \ln 2}{e} = \frac{2}{e}(1 - \ln 2) \)

Наименьшее значение находится в границах интервала.

3. \( y = \frac{1}{3} x \ln x - \frac{1}{6} x \ln 2 \) на интервале \([1; 3]\)

Найдем производную:

\[ y' = \frac{1}{3} (\ln x + 1) - \frac{1}{6} \ln 2 \]

Приравняем к нулю:

\[ \frac{1}{3} (\ln x + 1) = \frac{1}{6} \ln 2 \implies \ln x + 1 = \frac{1}{2} \ln 2 \implies \ln x = \frac{1}{2} \ln 2 - 1 \implies x = e^{\frac{1}{2} \ln 2 - 1} = \frac{\sqrt{2}}{e} \]

Проверяем, попадает ли \( \frac{\sqrt{2}}{e} \) в интервал \([1, 3]\):

\(\frac{\sqrt{2}}{e} \approx 0.5 \notin [1, 3]\)

Таким образом, подставляем только границы интервала:

• \( y(1) = -\frac{1}{6} \ln 2 \)
• \( y(3) = \frac{1}{3} \cdot 3 \ln 3 - \frac{1}{6} \cdot 3 \ln 2 = \ln 3 - \frac{1}{2} \ln 2 \)

4. \( y = 2x \ln x - x \ln 49 \) на интервале \([1; 7]\)

Нахожу производную и приравниваю к нулю.

5. \( y = 2\sqrt{3}\cos x + 2\sin x - 2x + 1 \)

Найдем производную:

\[ y' = -2\sqrt{3}\sin x + 2\cos x - 2 \]

Приравняем к нулю и решим: определим возможные точки, включая границы.

6. \( y = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x + 10 - 2x \)

Аналогично, находим производную и решаем уравнение для нахождения максимума.

Пожалуйста, уточните, если нужно больше деталей по любой из функций или точкам!