Радиус сферы 41 сантиметр. На таком же расстоянии - 41 сантиметр от сферы находится светящаяся точка. Определи, какую часть поверхности сферы она освещает. как ответ зависит от длины радиуса?

Для начала определим, какую часть поверхности сферы освещает точечный источник света, находящийся на расстоянии равном радиусу сферы. 1. **Определим радиус сферы**: Радиус сферы \( R = 41 \) см. 2. **Расстояние до источника света**: Источник света находится на расстоянии \( R = 41 \) см от поверхности сферы. Таким образом, расстояние от центра сферы до источника света \( d \) равно \( R + R = 82 \) см. 3. **Обозначим угол освещения**: Для определения части сферы, которую освещает источник, удобно воспользоваться углом, под которым источник света "смотрит" на сферы. Если \( \theta \) — угол между линией, соединяющей центр сферы и источником света, и линией, касающейся сферы, то можно воспользоваться тригонометрией для нахождения этого угла. Для вычислений воспользуемся формулой: \[ \cos \theta = \frac{R}{d} = \frac{R}{2R} = \frac{1}{2} \] Таким образом, \( \theta = \arccos\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{3} \) радиан, что соответствует углу 60°. 4. **Часть поверхности сферы**: Часть сферы, которая освещается источником света, определяется как полусфера, соответствующая углу \( \theta \). Площадь поверхности сферы выражается формулой: \[ S = 4\pi R^2 \] Площадь освещенной части будет: \[ S_{\text{осv}} = \frac{\theta}{2\pi} \cdot S = \frac{\frac{\pi}{3}}{2\pi} \cdot 4\pi R^2 = \frac{2R^2}{3} \] 5. **Зависимость от радиуса**: Теперь сосчитаем, какую часть поверхности сферы составляет освещенная площадь: \[ \text{Часть} = \frac{S_{\text{осv}}}{S} = \frac{\frac{2R^2}{3}}{4\pi R^2} = \frac{1}{6\pi} \] Следовательно, стойкость освещенной площади при \( R = 41 \) см в общем случае будет постоянной и не будет зависеть от конкретного значения радиуса, если само расстояние от центра до источника света пропорционально радиусу. Таким образом, при заданных условиях светящаяся точка освещает \( \frac{1}{6\pi} \) части поверхности сферы, которая не зависит от величины радиуса, но зависит от расстояния от центра до источника, которое всегда равно удвоенному радиусу.