В равнобедренном треугольнике ( ABC ) с основанием ( AC ), угол ( B = 120^\circ ), и высота ( BD = 13 ) см. Нужно найти боковую сторону ( AB ) (или ( BC )).
Делая вспомогательные построения, заметим, что высота ( BD ) делит угол ( B ) на два угла по ( 60^\circ ). В результате, треугольники ( ABD ) и ( BDC ) становятся равносторонними. Однако, в данной задаче ( \angle ABD = \angle BDC = 60^\circ ).
Так, прямо укажем на треугольник ( ABD ):
- В треугольнике ( ABD ):
- (\angle ABD = 60^\circ)
- (BD = 13) см — высота
Пусть ( AB = x ). По определению косинуса:
[
\cos 60^\circ = \frac{AD}{AB}
]
[
\frac{1}{2} = \frac{AD}{x}
]
[
AD = \frac{x}{2}
]
Используя теорему Пифагора в треугольнике ( ABD ):
[
BD^2 + AD^2 = AB^2
]
[
13^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2 = x^2
]
[
169 + \frac{x^2}{4} = x^2
]
[
169 = x^2 - \frac{x^2}{4}
]
[
169 = \frac{4x^2}{4} - \frac{x^2}{4}
]
[
169 = \frac{3x^2}{4}
]
[
676 = 3x^2
]
[
x^2 = \frac{676}{3}
]
[
x = \sqrt{\frac{676}{3}}
]
Посчитав, получаем:
[
x \approx 15
]
Таким образом, боковая сторона треугольника ( ABC ) составляет приблизительно 15 см.
