На рисунке в равнобедренном треугольнике ( ABC ) с основанием ( AC ) угол ( B ) равен ( 120^\circ ), а высота, проведенная из вершины ( B ), равна 13 см. Найдите боковую сторону треугольника ( ABC ).
Давайте решим задачу.
В равнобедренном треугольнике ( ABC ) проведена высота ( BD ) к основанию ( AC ). Высота разбивает угол ( B ) пополам, так что угол ( ABD = 60^\circ ).
В треугольнике ( ABD ):
- (\angle ABD = 60^\circ)
- (BD = 13) см (высота).
Используем основное тригонометрическое соотношение в треугольнике ( ABD ):
[
\cos 60^\circ = \frac{AD}{AB} = \frac{1}{2}
]
Пусть ( AB = x ). Тогда:
[
\frac{AD}{x} = \frac{1}{2} \implies AD = \frac{x}{2}
]
Также используем:
[
\tan 60^\circ = \frac{BD}{AD} = \sqrt{3}
]
[
\sqrt{3} = \frac{13}{\frac{x}{2}}
]
[
\sqrt{3} = \frac{26}{x}
]
Домножая обе стороны на ( x ), получаем:
[
x \cdot \sqrt{3} = 26
]
Отсюда:
[
x = \frac{26}{\sqrt{3}} = \frac{26 \sqrt{3}}{3}
]
Таким образом, боковая сторона треугольника ( ABC ) равна (\frac{26 \sqrt{3}}{3}) см.
