В треугольнике ( ABC ) с углом ( C = 90^\circ ) и известной длиной стороны ( BC = 20 ) и значением ( \cos(B) = \frac{5}{7} ), мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для решения задачи.
- Мы начинаем с нахождения длины стороны ( AC ) (которая является прилежащей стороной к углу ( B )) с помощью определения косинуса:
[
\cos(B) = \frac{AC}{AB}
]
- Мы знаем, что:
[
\cos(B) = \frac{5}{7}
]
Таким образом, имеем:
[
AC = AB \cdot \cos(B) = AB \cdot \frac{5}{7}
]
- Применим теорему Пифагора для нахождения стороны ( AB ):
[
AB^2 = AC^2 + BC^2
]
Подставим ( AC = AB \cdot \frac{5}{7} ) и ( BC = 20 ):
[
AB^2 = \left(AB \cdot \frac{5}{7}\right)^2 + 20^2
]
- Теперь вычислим:
[
AB^2 = AB^2 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^2 + 400
]
[
AB^2 = AB^2 \cdot \frac{25}{49} + 400
]
- Переместим все слагаемые в одну сторону:
[
AB^2 - AB^2 \cdot \frac{25}{49} = 400
]
- Общий множитель можно вынести:
[
AB^2 \left(1 - \frac{25}{49}\right) = 400
]
[
AB^2 \cdot \frac{24}{49} = 400
]
- Умножим обе стороны на (\frac{49}{24}):
[
AB^2 = 400 \cdot \frac{49}{24}
]
[
AB^2 = \frac{19600}{24} = \frac{9800}{12} = \frac{4900}{6}
]
- Теперь находим ( AB ):
[
AB = \sqrt{\frac{4900}{6}} = \frac{70}{\sqrt{6}}
]
- Чтобы упростить окончательное выражение, умножим числитель и знаменатель на (\sqrt{6}):
[
AB = \frac{70\sqrt{6}}{6} = \frac{35\sqrt{6}}{3}
]
Таким образом, длина стороны ( AB ) составляет:
[
AB = \frac{35\sqrt{6}}{3}
]
