В треугольнике ABC угол C равен 90 ∘ , BC = 20 7 , cos ( B ) = 5 7 . Найдите AB .
В треугольнике \( ABC \) с углом \( C = 90^\circ \) и известной длиной стороны \( BC = 20 \) и значением \( \cos(B) = \frac{5}{7} \), мы можем воспользоваться тригонометрическими соотношениями для решения задачи.
- Мы начинаем с нахождения длины стороны \( AC \) (которая является прилежащей стороной к углу \( B \)) с помощью определения косинуса:
\[ \cos(B) = \frac{AC}{AB} \]
- Мы знаем, что:
\[ \cos(B) = \frac{5}{7} \]
Таким образом, имеем:
\[ AC = AB \cdot \cos(B) = AB \cdot \frac{5}{7} \]
- Применим теорему Пифагора для нахождения стороны \( AB \):
\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]
Подставим \( AC = AB \cdot \frac{5}{7} \) и \( BC = 20 \):
\[ AB^2 = \left(AB \cdot \frac{5}{7}\right)^2 + 20^2 \]
- Теперь вычислим:
\[ AB^2 = AB^2 \cdot \left(\frac{5}{7}\right)^2 + 400 \]
\[ AB^2 = AB^2 \cdot \frac{25}{49} + 400 \]
- Переместим все слагаемые в одну сторону:
\[ AB^2 - AB^2 \cdot \frac{25}{49} = 400 \]
- Общий множитель можно вынести:
\[ AB^2 \left(1 - \frac{25}{49}\right) = 400 \]
\[ AB^2 \cdot \frac{24}{49} = 400 \]
- Умножим обе стороны на \(\frac{49}{24}\):
\[ AB^2 = 400 \cdot \frac{49}{24} \]
\[ AB^2 = \frac{19600}{24} = \frac{9800}{12} = \frac{4900}{6} \]
- Теперь находим \( AB \):
\[ AB = \sqrt{\frac{4900}{6}} = \frac{70}{\sqrt{6}} \]
- Чтобы упростить окончательное выражение, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{6}\):
\[ AB = \frac{70\sqrt{6}}{6} = \frac{35\sqrt{6}}{3} \]
Таким образом, длина стороны \( AB \) составляет:
\[ AB = \frac{35\sqrt{6}}{3} \]
