Провести полное исследование функции и построить график. y = In( x/x+2)+1

Давайте проведем полное исследование функции \( y = \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 \). ### 1. Область определения Для функции \( y \) необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным: \[ \frac{x}{x+2} > 0 \] #### Условия: 1. \( x > 0 \) (числитель должен быть положительным). 2. \( x+2 > 0 \) что всегда выполняется, когда \( x > -2 \). Таким образом, у нас два условия: - \( x > 0 \) (положительное значение функции). - \( x > -2 \) (второе условие менее строгими). Объединив эти условия, мы получаем область определения: \[ D: \quad (0, +\infty) \] ### 2. Исследование на наличие производной и точек экстремума Найдём производную функции \( y \): \[ y = \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 \] Сначала посчитаем производную \( y \) по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) \right] \] Используя правило производной логарифма и правило частного, получаем: \[ y' = \frac{(x+2) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x)^2} = \frac{2}{x(x+2)} \] Поскольку числитель всегда положителен (число 2), а знаменатель положителен для \( x > 0 \), то: \[ y' > 0 \quad \text{(для всех } x > 0\text{)} \] Это означает, что функция \( y \) строго возрастает на своей области определения. ### 3. Пределы функции Посмотрим на поведение функции при \( x \to 0^+ \) и \( x \to +\infty \): #### Предел при \( x \to 0^+ \): \[ y \to \ln\left(\frac{0}{2}\right) + 1 = \ln(0) \to -\infty \] #### Предел при \( x \to +\infty \): \[ y \to \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 = \ln\left(1 - \frac{2}{x+2}\right) + 1 \to 0 + 1 = 1 \] ### 4. Значения функции - При \( x = 1 \): \[ y(1) = \ln\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -\ln(3) + 1 \approx -1.098 + 1 \approx -0.098 \] ### 5. График функции Теперь можно построить график функции. На графике будет: - Область определения: \( (0, +\infty) \) - Функция стремится к \(-\infty\) при \( x \to 0^+\) - Функция стремится к \(1\) при \( x \to +\infty\) - Строго возрастающая функция. Теперь вы можете использовать эти данные для построения графика функции. На графике ось X - это значения \( x \), ось Y - это значения \( y \). Кривая будет начинаться от \(-\infty\) при \( x = 0 \) и будет возрастать, приближаясь к значению \(1\) при большом \(x\).