Провести полное исследование функции и построить график. y = In( x/x+2)+1
Давайте проведем полное исследование функции \( y = \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 \).
1. Область определения
Для функции \( y \) необходимо, чтобы аргумент логарифма был положительным: \[ \frac{x}{x+2} > 0 \]
Условия:
- \( x > 0 \) (числитель должен быть положительным).
- \( x+2 > 0 \) что всегда выполняется, когда \( x > -2 \).
Таким образом, у нас два условия:
- \( x > 0 \) (положительное значение функции).
- \( x > -2 \) (второе условие менее строгими).
Объединив эти условия, мы получаем область определения: \[ D: \quad (0, +\infty) \]
2. Исследование на наличие производной и точек экстремума
Найдём производную функции \( y \): \[ y = \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 \]
Сначала посчитаем производную \( y \) по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx} \left[ \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) \right] \]
Используя правило производной логарифма и правило частного, получаем: \[ y' = \frac{(x+2) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x)^2} = \frac{2}{x(x+2)} \]
Поскольку числитель всегда положителен (число 2), а знаменатель положителен для \( x > 0 \), то: \[ y' > 0 \quad \text{(для всех } x > 0\text{)} \]
Это означает, что функция \( y \) строго возрастает на своей области определения.
3. Пределы функции
Посмотрим на поведение функции при \( x \to 0^+ \) и \( x \to +\infty \):
Предел при \( x \to 0^+ \):
\[ y \to \ln\left(\frac{0}{2}\right) + 1 = \ln(0) \to -\infty \]
Предел при \( x \to +\infty \):
\[ y \to \ln\left(\frac{x}{x+2}\right) + 1 = \ln\left(1 - \frac{2}{x+2}\right) + 1 \to 0 + 1 = 1 \]
4. Значения функции
- При \( x = 1 \): \[ y(1) = \ln\left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -\ln(3) + 1 \approx -1.098 + 1 \approx -0.098 \]
5. График функции
Теперь можно построить график функции. На графике будет:
- Область определения: \( (0, +\infty) \)
- Функция стремится к \(-\infty\) при \( x \to 0^+\)
- Функция стремится к \(1\) при \( x \to +\infty\)
- Строго возрастающая функция.
Теперь вы можете использовать эти данные для построения графика функции. На графике ось X - это значения \( x \), ось Y - это значения \( y \). Кривая будет начинаться от \(-\infty\) при \( x = 0 \) и будет возрастать, приближаясь к значению \(1\) при большом \(x\).
