Основанием прямой призмы является равнобедренная трапеция с основаниями 21 см и 9 см и высотой 8 см. Найдите площадь боковой поверхностии полной, если боковое ребро равно 10 см.
Для нахождения площади боковой поверхности прямой призмы, основание которой является равнобедренной трапецией, нам нужно сначала найти площадь боковой поверхности самой призмы.
Найдем периметр основания (равнобедренной трапеции). Основание трапеции имеет два основания: \( a = 21 \) см и \( b = 9 \) см, и высоту \( h = 8 \) см. Для нахождения боковых сторон (\(c\)) равнобедренной трапеции воспользуемся теоремой Пифагора.
Известно, что высота \( h \) делит трапецию на две равные части, поэтому длина сегмента между основанием и вертикальной линией (высотой) будет равна: \[ m = \frac{a - b}{2} = \frac{21 - 9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см} \]
Теперь можем найти боковую сторону \( c \) с помощью теоремы Пифагора: \[ c = \sqrt{h^2 + m^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \]
Поскольку трапеция равнобедренная, боковые стороны равны. Таким образом, \( c_1 = c_2 = 10 \) см.
Периметр трапеции: \[ P = a + b + c_1 + c_2 = 21 + 9 + 10 + 10 = 50 \text{ см} \]
Площадь боковой поверхности прямой призмы: Площадь боковой поверхности \( S_{б}\) вычисляется по формуле: \[ S_{б} = P \cdot h_{п}, \] где \( h_{п} \) — высота призмы (в данном случае равна боковому ребру, т.е. 10 см).
Подставляем значения: \[ S_{б} = 50 \cdot 10 = 500 \text{ см}^2 \]
Теперь найдем полную площадь призмы: Для этого нам нужно также найти площадь основания трапеции.
Площадь трапеции \( S_{осн} \) рассчитывается по формуле: \[ S_{осн} = \frac{(a + b) \cdot h}{2} = \frac{(21 + 9) \cdot 8}{2} = \frac{30 \cdot 8}{2} = \frac{240}{2} = 120 \text{ см}^2 \]
Площадь двух оснований: \[ S_{осн_2} = 2 \cdot S_{осн} = 2 \cdot 120 = 240 \text{ см}^2 \]
Полная площадь призмы: \[ S_{пол} = S_{б} + S_{осн_2} = 500 + 240 = 740 \text{ см}^2 \]
Таким образом, площадь боковой поверхности прямой призмы составляет \( 500 \text{ см}^2 \), а полная площадь — \( 740 \text{ см}^2 \).
