Давайте решим каждую из указанных задач.
Задача 1:
Условия: Одно число на 4 меньше другого, а их произведение равно 780. Найдите эти числа.
Обозначим 1-е число как ( x ), тогда 2-е число будет ( x + 4 ).
Согласно условию, произведение этих чисел равно 780:
[
x (x + 4) = 780
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + 4x - 780 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-780) = 16 + 3120 = 3136
]
Теперь найдем корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{3136}}{2}
]
Вычисляем ( \sqrt{3136} = 56 ):
[
x = \frac{-4 \pm 56}{2}
]
Теперь найдём два значения:
- ( x_1 = \frac{52}{2} = 26 )
- ( x_2 = \frac{-60}{2} = -30 ) (отбрасываем, так как числа натуральные)
Таким образом, первое число:
[
x = 26
]
Второе число:
[
x + 4 = 30
]
Ответ: Числа 26 и 30.
Задача 2:
Условия: Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 2 больше другого, равна 202. Найдите эти числа.
Обозначим 1-е число как ( x ), тогда 2-е число будет ( x + 2 ).
Согласно условию:
[
x^2 + (x + 2)^2 = 202
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 202
]
Упрощаем уравнение:
[
2x^2 + 4x + 4 - 202 = 0
]
[
2x^2 + 4x - 198 = 0
]
Упростим на 2:
[
x^2 + 2x - 99 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-99) = 4 + 396 = 400
]
Находим корни:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 20}{2}
]
Вычисляем два значения:
- ( x_1 = \frac{18}{2} = 9 )
- ( x_2 = \frac{-22}{2} = -11 ) (отбрасываем)
Первое число:
[
x = 9
]
Второе число:
[
x + 2 = 11
]
Ответ: Числа 9 и 11.
Задача 3:
Условия: Один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см больше другого, а гипотенуза равна 15 см. Найдите катеты этого треугольника.
Обозначим 1-й катет как ( x ), тогда 2-й катет будет ( x + 3 ).
Согласно теореме Пифагора:
[
x^2 + (x + 3)^2 = 15^2
]
Раскроем скобки:
[
x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 225
]
Упрощаем уравнение:
[
2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0
]
[
2x^2 + 6x - 216 = 0
]
Упрощаем на 2:
[
x^2 + 3x - 108 = 0
]
Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441
]
Находим корни:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 21}{2}
]
Вычисляем два значения:
- ( x_1 = \frac{18}{2} = 9 )
- ( x_2 = \frac{-24}{2} = -12 ) (отбрасываем)
Первый катет:
[
x = 9 \text{ см}
]
Второй катет:
[
x + 3 = 12 \text{ см}
]
Ответ: Катеты 9 см и 12 см.
