Карточка №3 "Задачи на составление квадратного уравнения" вариант 2 1. Одно число на 4 меньше другого, а их произведение равно 780. Найдите эти числа. 2. Сумма квадратов двух…

Давайте решим каждую из указанных задач.

Задача 1:

Условия: Одно число на 4 меньше другого, а их произведение равно 780. Найдите эти числа.

Обозначим 1-е число как \( x \), тогда 2-е число будет \( x + 4 \).

Согласно условию, произведение этих чисел равно 780: \[ x (x + 4) = 780 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + 4x - 780 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-780) = 16 + 3120 = 3136 \] Теперь найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{3136}}{2} \] Вычисляем \( \sqrt{3136} = 56 \): \[ x = \frac{-4 \pm 56}{2} \] Теперь найдём два значения:

1. \( x_1 = \frac{52}{2} = 26 \)
2. \( x_2 = \frac{-60}{2} = -30 \) (отбрасываем, так как числа натуральные)

Таким образом, первое число: \[ x = 26 \] Второе число: \[ x + 4 = 30 \] Ответ: Числа 26 и 30.

Задача 2:

Условия: Сумма квадратов двух натуральных чисел, одно из которых на 2 больше другого, равна 202. Найдите эти числа.

Обозначим 1-е число как \( x \), тогда 2-е число будет \( x + 2 \).

Согласно условию: \[ x^2 + (x + 2)^2 = 202 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 4x + 4) = 202 \] Упрощаем уравнение: \[ 2x^2 + 4x + 4 - 202 = 0 \] \[ 2x^2 + 4x - 198 = 0 \] Упростим на 2: \[ x^2 + 2x - 99 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-99) = 4 + 396 = 400 \] Находим корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm 20}{2} \] Вычисляем два значения:

1. \( x_1 = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( x_2 = \frac{-22}{2} = -11 \) (отбрасываем)

Первое число: \[ x = 9 \] Второе число: \[ x + 2 = 11 \] Ответ: Числа 9 и 11.

Задача 3:

Условия: Один из катетов прямоугольного треугольника на 3 см больше другого, а гипотенуза равна 15 см. Найдите катеты этого треугольника.

Обозначим 1-й катет как \( x \), тогда 2-й катет будет \( x + 3 \).

Согласно теореме Пифагора: \[ x^2 + (x + 3)^2 = 15^2 \] Раскроем скобки: \[ x^2 + (x^2 + 6x + 9) = 225 \] Упрощаем уравнение: \[ 2x^2 + 6x + 9 - 225 = 0 \] \[ 2x^2 + 6x - 216 = 0 \] Упрощаем на 2: \[ x^2 + 3x - 108 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441 \] Находим корни: \[ x = \frac{-3 \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 21}{2} \] Вычисляем два значения:

1. \( x_1 = \frac{18}{2} = 9 \)
2. \( x_2 = \frac{-24}{2} = -12 \) (отбрасываем)

Первый катет: \[ x = 9 \text{ см} \] Второй катет: \[ x + 3 = 12 \text{ см} \] Ответ: Катеты 9 см и 12 см.