Для того чтобы найти (\cos \alpha), мы можем использовать основной тригонометрический тождество:
[
\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1.
]
У нас дано (\sin \alpha = -\frac{3\sqrt{11}}{10}). Сначала найдем (\sin^2 \alpha):
[
\sin^2 \alpha = \left(-\frac{3\sqrt{11}}{10}\right)^2 = \frac{9 \cdot 11}{100} = \frac{99}{100}.
]
Теперь подставим значение (\sin^2 \alpha) в основное тождество:
[
\frac{99}{100} + \cos^2 \alpha = 1.
]
Решим это уравнение для (\cos^2 \alpha):
[
\cos^2 \alpha = 1 - \frac{99}{100} = \frac{1}{100}.
]
Теперь извлечем корень:
[
\cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{1}{100}} = \pm\frac{1}{10}.
]
Теперь нужно определить знак (\cos \alpha). Поскольку (\sin \alpha) отрицателен, это указывает на то, что угол находится либо в третьем, либо в четвертом квадранте.
- В третьем квадранте (\cos \alpha) тоже отрицательный.
- В четвертом квадранте (\cos \alpha) положительный.
Так, возможные значения (\cos \alpha):
[
\cos \alpha = -\frac{1}{10} \quad (\text{если } \alpha \text{ в третьем квадранте})
]
или
[
\cos \alpha = \frac{1}{10} \quad (\text{если } \alpha \text{ в четвертом квадранте}).
]
В общем случае вы получите два возможных значения для (\cos \alpha):
[
\cos \alpha = \pm\frac{1}{10}.
]
