Чтобы найти радиус сферы, необходимо сначала найти длину отрезка FB, который является диаметром сферы. Для этого используем формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:
[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
]
Где ( (x_1, y_1, z_1) ) — координаты точки F, а ( (x_2, y_2, z_2) ) — координаты точки B.
Подставляем координаты точек F(4, 1, 1) и B(2, 3, 3):
[
d = \sqrt{(2 - 4)^2 + (3 - 1)^2 + (3 - 1)^2}
]
[
= \sqrt{(-2)^2 + (2)^2 + (2)^2}
]
[
= \sqrt{4 + 4 + 4}
]
[
= \sqrt{12}
]
[
= 2\sqrt{3}
]
Итак, длина отрезка FB (диаметр сферы) равна ( 2\sqrt{3} ). Радиус сферы (R) равен половине диаметра:
[
R = \frac{d}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
]
Теперь найдем центр сферы, который находится на середине отрезка FB. Координаты центра C будут:
[
C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}, \frac{z_1 + z_2}{2}\right) = C\left(\frac{4 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2}, \frac{1 + 3}{2}\right)
]
[
= C\left(\frac{6}{2}, \frac{4}{2}, \frac{4}{2}\right) = C(3, 2, 2)
]
Теперь мы знаем центр сферы C(3, 2, 2) и ее радиус ( R = \sqrt{3} ). Уравнение сферы имеет вид:
[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2
]
Где ((x_0, y_0, z_0)) — координаты центра сферы.
Подставляем значения в уравнение:
[
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{3})^2
]
В итоге уравнение сферы будет:
[
(x - 3)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 3
]
