вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна p=0,45.стрелок стреляет по мишени до первого попадания.какова вероятность того, что стрелку понадобится: а)ровно два…
Вероятность попадания при каждом выстреле постоянна и равна p=0,45.стрелок стреляет по мишени до первого попадания.какова вероятность того, что стрелку понадобится: а)ровно два выстрела б)один или три выстрела в)не больше четырёх выстрелов г)первые пять выстрела окончается неудачей д)какое наименьшее количество выстрелов нужно сделать,чтобы вероятность поражения цели оказалась не ниже 0,9
Для задачи используют геометрическое распределение, где вероятность успеха при каждом испытании равна p и вероятность неудачи равна q = 1 - p. В данном случае \( p = 0.45 \) и \( q = 0.55 \).
а) Вероятность того, что стрелку понадобится ровно два выстрела:
Стрелок должен промахнуться в первом выстреле (неудача) и попасть во втором. Вероятность это события можно вычислить по формуле:
\[ P(X = 2) = q \cdot p = (0.55) \cdot (0.45) = 0.2475 \]
б) Вероятность, что понадобится один или три выстрела:
- Для одного выстрела стрелок должен попасть с первого раза:
\[ P(X = 1) = p = 0.45 \]
- Для трех выстрелов стрелок должен промахнуться в первых двух и попасть в третьем:
\[ P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0.55)^2 \cdot (0.45) = 0.3025 \cdot 0.45 = 0.136125 \]
Теперь можно суммировать эти вероятности:
\[ P(X = 1 \text{ или } X = 3) = P(X=1) + P(X=3) = 0.45 + 0.136125 = 0.586125 \]
в) Вероятность, что не больше четырех выстрелов понадобится:
Это значит, что стрелок может попасть в 1, 2, 3 или 4 выстрелах. Необходимо учитывать вероятности для 1, 2, 3 и 4 выстрелов:
\[ P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0.55)^3 \cdot (0.45) = 0.166375 \cdot 0.45 = 0.07486375 \]
Теперь суммируем все вероятности:
\[ P(X \leq 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) \]
\[ P(X \leq 4) = 0.45 + 0.2475 + 0.136125 + 0.07486375 = 0.90848875 \]
г) Вероятность первых пяти выстрелов окончатся неудачей:
Это событие можно описать как 5 промахов подряд, что равно:
\[ P(X > 5) = q^5 = (0.55)^5 = 0.0503 \]
д) Наименьшее количество выстрелов, чтобы вероятность попадания не была ниже 0,9:
Необходимо решить неравенство:
\[ 1 - q^n \geq 0.9 \]
или
\[ q^n \leq 0.1 \]
Подставляем значение q:
\[ (0.55)^n \leq 0.1 \]
Исследуем при каких n это неравенство выполняется. Берем логарифм обеих сторон:
\[ n \log(0.55) \leq \log(0.1) \]
Отсюда
\[ n \geq \frac{\log(0.1)}{\log(0.55)} \approx \frac{-1}{-0.262} \approx 3.81 \]
Значит, наименьшее целое n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 4. Нужно сделать 4 выстрела, чтобы вероятность попадания была не ниже 0,9.
