Для задачи используют геометрическое распределение, где вероятность успеха при каждом испытании равна p и вероятность неудачи равна q = 1 - p. В данном случае ( p = 0.45 ) и ( q = 0.55 ).
а) Вероятность того, что стрелку понадобится ровно два выстрела:
Стрелок должен промахнуться в первом выстреле (неудача) и попасть во втором. Вероятность это события можно вычислить по формуле:
[
P(X = 2) = q \cdot p = (0.55) \cdot (0.45) = 0.2475
]
б) Вероятность, что понадобится один или три выстрела:
- Для одного выстрела стрелок должен попасть с первого раза:
[
P(X = 1) = p = 0.45
]
- Для трех выстрелов стрелок должен промахнуться в первых двух и попасть в третьем:
[
P(X = 3) = q^2 \cdot p = (0.55)^2 \cdot (0.45) = 0.3025 \cdot 0.45 = 0.136125
]
Теперь можно суммировать эти вероятности:
[
P(X = 1 \text{ или } X = 3) = P(X=1) + P(X=3) = 0.45 + 0.136125 = 0.586125
]
в) Вероятность, что не больше четырех выстрелов понадобится:
Это значит, что стрелок может попасть в 1, 2, 3 или 4 выстрелах. Необходимо учитывать вероятности для 1, 2, 3 и 4 выстрелов:
[
P(X = 4) = q^3 \cdot p = (0.55)^3 \cdot (0.45) = 0.166375 \cdot 0.45 = 0.07486375
]
Теперь суммируем все вероятности:
[
P(X \leq 4) = P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)
]
[
P(X \leq 4) = 0.45 + 0.2475 + 0.136125 + 0.07486375 = 0.90848875
]
г) Вероятность первых пяти выстрелов окончатся неудачей:
Это событие можно описать как 5 промахов подряд, что равно:
[
P(X > 5) = q^5 = (0.55)^5 = 0.0503
]
д) Наименьшее количество выстрелов, чтобы вероятность попадания не была ниже 0,9:
Необходимо решить неравенство:
[
1 - q^n \geq 0.9
]
или
[
q^n \leq 0.1
]
Подставляем значение q:
[
(0.55)^n \leq 0.1
]
Исследуем при каких n это неравенство выполняется. Берем логарифм обеих сторон:
[
n \log(0.55) \leq \log(0.1)
]
Отсюда
[
n \geq \frac{\log(0.1)}{\log(0.55)} \approx \frac{-1}{-0.262} \approx 3.81
]
Значит, наименьшее целое n, удовлетворяющее этому неравенству, равно 4. Нужно сделать 4 выстрела, чтобы вероятность попадания была не ниже 0,9.
