Методом гаусса
Для решения системы линейных уравнений методом Гаусса, нужно привести матрицу коэффициентов системы к ступенчатому виду. Дана система уравнений:
\[ \begin{align*} 1) & \quad 2x + y - z = 11 \\ 2) & \quad 3x + 2y - 4z = 15 \\ 3) & \quad 4x + 3y + 7z = 19 \\ \end{align*} \]
Шаг 1: Преобразуем матрицу
Начнем с матрицы коэффициентов и свободных членов:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 11 \\ 3 & 2 & -4 & | & 15 \\ 4 & 3 & 7 & | & 19 \\ \end{bmatrix} \]
Из первого уравнения сделаем первый элемент единичной строки, заменяя строки и производя операции.
Шаг 2: Приводим к ступенчатому виду
- Изменим вторую строку, вычтя из нее первую строку, умноженную на \( \frac{3}{2} \).
\[ (3, 2, -4, |, 15) - \frac{3}{2}(2, 1, -1, |, 11) \Rightarrow (0, 0.5, -2.5, |, -1.5) \]
- Изменим третью строку, вычтя из нее первую строку, умноженную на 2.
\[ (4, 3, 7, |, 19) - 2(2, 1, -1, |, 11) \Rightarrow (0, 1, 9, |, -3) \]
Матрица теперь выглядит так:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 11 \\ 0 & 0.5 & -2.5 & | & -1.5 \\ 0 & 1 & 9 & | & -3 \\ \end{bmatrix} \]
Шаг 3: Приводим под матрицу треугольного вида ступенчато
- Сделаем элемент (3,2) нулем, вычтя из нижней строки верхнюю строку, умноженную на 2.
\[ (0, 1, 9, |, -3) - 2(0, 0.5, -2.5, |, -1.5) \Rightarrow (0, 0, 14, |, 0) \]
Теперь получаем:
\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & | & 11 \\ 0 & 0.5 & -2.5 & | & -1.5 \\ 0 & 0 & 14 & | & 0 \\ \end{bmatrix} \]
Шаг 4: Решение системы
Из последнего уравнения получаем: \[ 14z = 0 \quad \Rightarrow \quad z = 0 \]
Из второго уравнения находим: \[ 0.5y - 2.5 \cdot 0 = -1.5 \quad \Rightarrow \quad y = -3 \]
Из первого уравнения: \[ 2x + (-3) - 0 = 11 \quad \Rightarrow \quad 2x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 7 \]
Ответ
Решение системы: \(x = 7\), \(y = -3\), \(z = 0\).
