Для решения задачи начнём с определения отношения площадей двух подобных треугольников.
Пусть ( S_1 = 50 , \text{см}^2 ) — площадь меньшего треугольника, а ( S_2 = 128 , \text{см}^2 ) — площадь большего треугольника.
Отношение площадей треугольников:
[
\frac{S_1}{S_2} = \frac{50}{128} = \frac{25}{64}
]
Теперь, так как треугольники подобны, отношение их периметров (P) будет равно квадратному корню из отношения площадей:
[
\frac{P_1}{P_2} = \sqrt{\frac{S_1}{S_2}} = \sqrt{\frac{25}{64}} = \frac{5}{8}
]
Обозначим периметр меньшего треугольника как ( P_1 ), а периметр большего — ( P_2 ). Мы имеем:
[
P_1 + P_2 = 260 , \text{см}
]
С учетом отношения периметров можем записать:
[
P_1 = \frac{5}{8} P_2
]
Теперь можем выразить ( P_2 ) через ( P_1 ):
[
P_1 + P_2 = 260
]
[
\frac{5}{8} P_2 + P_2 = 260
]
Объединим ( P_2 ):
[
\frac{5}{8} P_2 + \frac{8}{8} P_2 = 260
]
[
\frac{13}{8} P_2 = 260
]
Теперь умножим обе стороны уравнения на ( \frac{8}{13} ):
[
P_2 = 260 \cdot \frac{8}{13} = 160 , \text{см}
]
Таким образом, периметр большего треугольника равен ( 160 , \text{см} ). Ответ: С) 160 см.
