х2-7х-30>0
Чтобы решить неравенство \(x^2 - 7x - 30 > 0\), начнём с нахождения корней соответствующего уравнения \(x^2 - 7x - 30 = 0\).
Для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a = 1\), \(b = -7\), \(c = -30\).
- Вычислим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 \]
- Теперь найдем корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 + 13}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]
\[ x_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 1} = \frac{7 - 13}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь у нас есть два корня: \(x_1 = 10\) и \(x_2 = -3\).
- Теперь мы можем разложить выражение \(x^2 - 7x - 30\) на множители:
\[ (x - 10)(x + 3) \]
- Затем, определим знаки произведения в интервалах, заданных корнями. Проверим знаки в промежутках: \( (-\infty, -3) \), \( (-3, 10) \) и \( (10, +\infty) \).
Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((x - 10)(x + 3) = (-)(-) > 0\)
Для \(-3 < x < 10\) (например, \(x = 0\)): \((x - 10)(x + 3) = (-)(+) < 0\)
Для \(x > 10\) (например, \(x = 11\)): \((x - 10)(x + 3) = (+)(+) > 0\)
- Теперь можем записать решение неравенства \(x^2 - 7x - 30 > 0\):
\[ x \in (-\infty, -3) \cup (10, +\infty) \]
Ответ: \(x \in (-\infty, -3) \cup (10, +\infty)\).
