Для того чтобы построить график функции и определить, при каких значениях ( t ) прямая ( y = t ) пересекает график ( y = f(x) ) в ровно двух точках, начнем с определения функции:
Функция задана кусочно:
[
y =
\begin{cases}
-x^2 + 6x - 3, & x \geq 2 \
-x + 7, & x < 2
\end{cases}
]
Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.
1.1) Для ( x < 2 ):
[ y = -x + 7 ]
Здесь прямая ( y = t ) пересекает её в точке:
[
t = -x + 7 \implies x = 7 - t
]
Эта точка пересечения будет иметь смысл только если ( 7 - t < 2 ).
Рассмотрим неравенство:
[
7 - t < 2 \implies t > 5
]
1.2) Для ( x \geq 2 ):
[ y = -x^2 + 6x - 3 ]
Здесь прямая ( y = t ) пересекает график относительно:
[
t = -x^2 + 6x - 3 \implies x^2 - 6x + (t + 3) = 0
]
Для того чтобы у этого квадратного уравнения было ровно 2 решения, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:
[
D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (t + 3) = 36 - 4(t + 3)
]
Решим уравнение дискриминанта, чтобы найти ( t ):
[
36 - 4(t + 3) = 0 \
36 - 4t - 12 = 0 \
24 = 4t \
t = 6
]
Шаг 2: Определим значение ( t ).
Чтобы получить ровно две пересечения графиков, мы должны учитывать:
- Для ( t < 5 ): пересечений нет (поскольку прямая находится выше всех значений функции).
- Для ( t = 5 ): одно пересечение (в ( x < 2 )).
- Для ( 5 < t < 6 ): одно пересечение в ( x < 2 ) и два пересечения в ( x \geq 2 ) (в данном промежутке).
- Для ( t = 6 ): ровно два пересечения (одно в ( x < 2 ) и одно в ( x = 2 )).
- Для ( t > 6 ): два пересечения (одно в ( x < 2 ) и одно в ( x \geq 2 ), также одно у ( x = 2 )).
Ответ
Таким образом, прямая ( y = t ) пересекает график функции ровно в двух точках, когда:
[
t = 6
]
И в каком-либо диапазоне, если ( 5 < t < 6 ) (с учетом расположения).
