Постройте график функции • и определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки. У={-х^2+6х-3, х ≥2 -х+7, х<2 найти Ох Оу и решить через…

Для того чтобы построить график функции и определить, при каких значениях \( t \) прямая \( y = t \) пересекает график \( y = f(x) \) в ровно двух точках, начнем с определения функции:

Функция задана кусочно:

\[ y = \begin{cases} -x^2 + 6x - 3, & x \geq 2 \\ -x + 7, & x < 2 \end{cases} \]

Шаг 1: Найдем точки пересечения графиков.

1.1) Для \( x < 2 \):

\[ y = -x + 7 \]

Здесь прямая \( y = t \) пересекает её в точке:

\[ t = -x + 7 \implies x = 7 - t \]

Эта точка пересечения будет иметь смысл только если \( 7 - t < 2 \).

Рассмотрим неравенство:

\[ 7 - t < 2 \implies t > 5 \]

1.2) Для \( x \geq 2 \):

\[ y = -x^2 + 6x - 3 \]

Здесь прямая \( y = t \) пересекает график относительно:

\[ t = -x^2 + 6x - 3 \implies x^2 - 6x + (t + 3) = 0 \]

Для того чтобы у этого квадратного уравнения было ровно 2 решения, необходимо, чтобы дискриминант был равен нулю:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (t + 3) = 36 - 4(t + 3) \]

Решим уравнение дискриминанта, чтобы найти \( t \):

\[ 36 - 4(t + 3) = 0 \\ 36 - 4t - 12 = 0 \\ 24 = 4t \\ t = 6 \]

Шаг 2: Определим значение \( t \).

Чтобы получить ровно две пересечения графиков, мы должны учитывать:

• Для \( t < 5 \): пересечений нет (поскольку прямая находится выше всех значений функции).
• Для \( t = 5 \): одно пересечение (в \( x < 2 \)).
• Для \( 5 < t < 6 \): одно пересечение в \( x < 2 \) и два пересечения в \( x \geq 2 \) (в данном промежутке).
• Для \( t = 6 \): ровно два пересечения (одно в \( x < 2 \) и одно в \( x = 2 \)).
• Для \( t > 6 \): два пересечения (одно в \( x < 2 \) и одно в \( x \geq 2 \), также одно у \( x = 2 \)).

Ответ

Таким образом, прямая \( y = t \) пересекает график функции ровно в двух точках, когда: \[ t = 6 \]

И в каком-либо диапазоне, если \( 5 < t < 6 \) (с учетом расположения).