Найти объем параллелепипеда построеннгого на вектора а с координатами 4,1,0 б с координатами 3,0-1 с с координатами 2,0,1

Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) и \(\vec{c}\), можно вычислить с помощью смешанного произведения (или скалярного произведения вектора \(\vec{a}\) с векторным произведением \(\vec{b} \times \vec{c}\)):

\[ V = | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) | \]

Давайте сначала запишем вектора:

\[ \vec{a} = (4, 1, 0), \quad \vec{b} = (3, 0, -1), \quad \vec{c} = (2, 0, 1) \]

Теперь найдём векторное произведение \(\vec{b} \times \vec{c}\):

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 0 & -1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) - \hat{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(3 \cdot 0 - 0 \cdot 2) \]

Считаем определитель:

\[ \vec{b} \times \vec{c} = \hat{i}(0) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(0) = 0\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k} = (0, -5, 0) \]

Теперь находим скалярное произведение \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\):

\[ \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (4, 1, 0) \cdot (0, -5, 0) = 4 \cdot 0 + 1 \cdot (-5) + 0 \cdot 0 = -5 \]

Так как объем всегда положителен, берём модуль:

\[ V = | -5 | = 5 \]

Следовательно, объем параллелепипеда равен 5.