Объем параллелепипеда, построенного на трех векторах (\vec{a}), (\vec{b}) и (\vec{c}), можно вычислить с помощью смешанного произведения (или скалярного произведения вектора (\vec{a}) с векторным произведением (\vec{b} \times \vec{c})):
[
V = | \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) |
]
Давайте сначала запишем вектора:
[
\vec{a} = (4, 1, 0), \quad \vec{b} = (3, 0, -1), \quad \vec{c} = (2, 0, 1)
]
Теперь найдём векторное произведение (\vec{b} \times \vec{c}):
[
\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \
3 & 0 & -1 \
2 & 0 & 1
\end{vmatrix}
= \hat{i}(0 \cdot 1 - (-1) \cdot 0) - \hat{j}(3 \cdot 1 - (-1) \cdot 2) + \hat{k}(3 \cdot 0 - 0 \cdot 2)
]
Считаем определитель:
[
\vec{b} \times \vec{c} = \hat{i}(0) - \hat{j}(3 + 2) + \hat{k}(0) = 0\hat{i} - 5\hat{j} + 0\hat{k} = (0, -5, 0)
]
Теперь находим скалярное произведение (\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})):
[
\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (4, 1, 0) \cdot (0, -5, 0) = 4 \cdot 0 + 1 \cdot (-5) + 0 \cdot 0 = -5
]
Так как объем всегда положителен, берём модуль:
[
V = | -5 | = 5
]
Следовательно, объем параллелепипеда равен 5.
