Scrie ca pătrat al unei sume:

Pentru a scrie expresia \( 27 + 10\sqrt{2} \) ca un pătrat al unei sume, avem nevoie de o formă de tipul \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Observăm că:

\[ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \]

Vrem să găsim \( a \) și \( b \) astfel încât:

\[ a^2 + b^2 + 2ab = 27 + 10\sqrt{2} \]

Din termenii radiculați, avem \( 2ab = 10\sqrt{2} \). De aici:

\[ ab = 5\sqrt{2} \]

Din termenii numerici, avem \( a^2 + b^2 = 27 \).

Acum, vom încerca să găsim \( a \) și \( b \):

Presupunem \( a = b \). Atunci:

\[ 2ab = 10\sqrt{2} \Rightarrow ab = 5\sqrt{2} \]

Dacă presupunem forma \( (a\sqrt{2} + b\sqrt{2}) \), căutăm:

Fie \( x = \sqrt{2} \).

\[ a^2 + b^2 + 2ab = 27 \]

Astfel, putem scrie:

\( 5^2 + (2\sqrt{2})^2 + 2 \cdot 5 \cdot 2\sqrt{2} = 25 + 8 + 20\sqrt{2} \).

Prin urmare, dacă scriem ca pătrat, obținem:

\[ (5 + 2\sqrt{2})^2 \].