2х²+6 / х+8 = 13х / х-8 решить по теореме виета

Чтобы решить уравнение \( \frac{2x^2 + 6}{x + 8} = \frac{13x}{x - 8} \) по теореме Виета, сначала нужно упростить его и привести к стандартному виду.

1. Умножим обе стороны уравнения на \( (x + 8)(x - 8) \) (это делаем чтобы избавиться от дробей и при условии, что \( x \neq -8 \) и \( x \neq 8 \)):

\[ (2x^2 + 6)(x - 8) = 13x(x + 8) \]

2. Раскроем скобки:

\[ 2x^3 - 16x^2 + 6x - 48 = 13x^2 + 104x \]

3. Переносим все члены в левую сторону:

\[ 2x^3 - 16x^2 + 6x - 48 - 13x^2 - 104x = 0 \]

4. Объединим подобные члены:

\[ 2x^3 - 29x^2 - 98x - 48 = 0 \]

Теперь можно использовать теорему Виета. Если у нас есть кубическое уравнение \( ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 \), то:

• Сумма корней \( x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a} = \frac{29}{2} \)
• Сумма произведений корней по два \( x_1x_2 + x_1x_3 + x_2x_3 = \frac{c}{a} = -49 \)
• Произведение корней \( x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a} = 24 \)

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( x_1 + x_2 + x_3 = \frac{29}{2} \)
2. \( x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = -49 \)
3. \( x_1 x_2 x_3 = 24 \)

На основании этих уравнений можно попробовать использовать методы подбора, чтобы найти значения корней, например, предположив, что один из корней является целым числом.

После тестирования можно увидеть, что \( x = -2 \) является корнем.

Теперь мы можем выполнить деление \( 2x^3 - 29x^2 - 98x - 48 \) на \( x + 2 \) с помощью синтетического деления или деления многочленов:

При делении получим:

\[ 2x^2 - 33x - 24 = 0 \]

Используем дискриминант:

\[ D = (-33)^2 - 4 \times 2 \times (-24) = 1089 + 192 = 1281 \]

Корни уравнения могут быть найдены по формуле:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставим значения:

\[ x = \frac{33 \pm \sqrt{1281}}{4} \]

Таким образом, корни уравнения:

1. \( x_1 = -2 \)
2. \( x_2, x_3 = \frac{33 \pm \sqrt{1281}}{4} \)

Это и будут корни уравнения.