3. Игральная кость бросается 6 раз. Какова вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза?

Для решения этой задачи можно использовать формулу распределения Бернулли (бинарное распределение), так как у нас есть два исхода при каждом броске: либо шестерка выпадает, либо нет.

Вероятность выпадения шестерки при одном броске равна \( p = \frac{1}{6} \), а вероятность того, что шестерка не выпадет, равна \( q = 1 - p = \frac{5}{6} \).

Мы хотим найти вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках. Для этого используем формулу биномиального распределения:

\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot q^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в данном случае 6),
• \( k \) — количество успешных исходов (в данном случае 4),
• \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
• \( p \) — вероятность успеха (выпадение шестерки),
• \( q \) — вероятность неуспеха (невыпадение шестерки).

Теперь подставим значения:

• \( n = 6 \)
• \( k = 4 \)
• \( p = \frac{1}{6} \)
• \( q = \frac{5}{6} \)

Сначала вычислим биномиальный коэффициент \( C(6, 4) \):

\[ C(6, 4) = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4! \cdot 2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15 \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ P(X = 4) = C(6, 4) \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} \]

Теперь вычислим:

\[ P(X = 4) = 15 \cdot \left(\frac{1}{6}\right)^4 \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^{2} = 15 \cdot \frac{1}{1296} \cdot \frac{25}{36} \]

\[ = 15 \cdot \frac{25}{46656} = \frac{375}{46656} \]

Теперь можно упростить дробь (если возможно):

375 и 46656 делятся на 3:

\(\frac{375 \div 3}{46656 \div 3} = \frac{125}{15552}\)

Таким образом, вероятность того, что шестерка выпадет 4 раза при 6 бросках кости составляет:

\[ P(X = 4) = \frac{125}{15552} \approx 0.00806 \]

Или в процентном выражении: примерно 0.806%.