Рассмотрим неравенство:
\[
\frac{x}{x^2 - 9} \geq 0
\]
Первым шагом найдем нули числителя и знаменателя.
1. **Числитель:** \(x = 0\).
2. **Знаменатель:** \(x^2 - 9 = 0\), значит \(x^2 = 9\), так что \(x = 3\) или \(x = -3\).
Теперь определим знаки выражений в интервалах, разделенных этими точками: \(-3\), \(0\), и \(3\).
Интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, 0)\), \((0, 3)\), \((3, \infty)\).
- **На \((- \infty, -3)\):**
- Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) отрицателен, дробь положительна.
- **На \((-3, 0)\):**
- Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) отрицателен, дробь положительна.
- **На \((0, 3)\):**
- Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) положителен, дробь отрицательна.
- **На \((3, \infty)\):**
- Выражение \((x^2 - 9)\) положительное, \(x\) положителен, дробь положительна.
Теперь запишем решение:
- \((- \infty, -3)\) ∪ \((0, 3)\) — эти промежутки исключены, потому что дробь должна быть неотрицательной.
- \([-3, 0)\) ∪ \( (3, \infty)\) — дробь положительна или равна нулю в этих промежутках.
Итоговое решение:
\[
x \in [-3, 0) \cup (3, \infty)
\]
