решить неравенство

Рассмотрим неравенство:

\[ \frac{x}{x^2 - 9} \geq 0 \]

Первым шагом найдем нули числителя и знаменателя.

1. Числитель: \(x = 0\).

2. Знаменатель: \(x^2 - 9 = 0\), значит \(x^2 = 9\), так что \(x = 3\) или \(x = -3\).

Теперь определим знаки выражений в интервалах, разделенных этими точками: \(-3\), \(0\), и \(3\).

Интервалы: \((- \infty, -3)\), \((-3, 0)\), \((0, 3)\), \((3, \infty)\).

• На \((- \infty, -3)\):

  • Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) отрицателен, дробь положительна.

• На \((-3, 0)\):

  • Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) отрицателен, дробь положительна.

• На \((0, 3)\):

  • Выражение \((x^2 - 9)\) отрицательное, \(x\) положителен, дробь отрицательна.

• На \((3, \infty)\):

  • Выражение \((x^2 - 9)\) положительное, \(x\) положителен, дробь положительна.

Теперь запишем решение:

• \((- \infty, -3)\) ∪ \((0, 3)\) — эти промежутки исключены, потому что дробь должна быть неотрицательной.

• \([-3, 0)\) ∪ \( (3, \infty)\) — дробь положительна или равна нулю в этих промежутках.

Итоговое решение: \[ x \in [-3, 0) \cup (3, \infty) \]