Обозначим:
- скорость течения реки — ( v ) (км/ч),
- скорость моторной лодки — ( v + 16 ) (км/ч), так как она на 16 км/ч быстрее скорости течения.
Согласно условию, время, которое лодка тратит на путь по морю, на 1 час меньше, чем время, затраченное на путь против течения реки.
Время, затраченное на движение по морю (27 км):
[
t_м = \frac{27}{v + 16}
]
Время, затраченное на движение против течения (40 км):
[
t_р = \frac{40}{v - 16}
]
По условию задачи, получаем уравнение:
[
t_р - t_м = 1
]
Подставим выражения для ( t_р ) и ( t_м ):
[
\frac{40}{v - 16} - \frac{27}{v + 16} = 1
]
Теперь найдем общий знаменатель и упростим уравнение:
[
\frac{40(v + 16) - 27(v - 16)}{(v - 16)(v + 16)} = 1
]
Упрощаем числитель:
[
40v + 640 - 27v + 432 = 1 \cdot (v^2 - 256)
]
[
13v + 1072 = v^2 - 256
]
Перепишем уравнение:
[
v^2 - 13v - 1328 = 0
]
Теперь применим дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1328) = 169 + 5312 = 5481
]
Теперь найдем корни:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 \pm \sqrt{5481}}{2}
]
[
\sqrt{5481} \approx 73.98
]
[
v \approx \frac{13 \pm 73.98}{2}
]
Берём только положительное значение:
[
v \approx \frac{86.98}{2} \approx 43.49
]
Теперь найдем скорость моторной лодки:
[
v + 16 \approx 43.49 + 16 = 59.49
]
Ответ:
Скорость течения реки: примерно 43.5 км/ч. Скорость моторной лодки: примерно 59.5 км/ч.
Краткая запись:
- ( v \approx 43.5 ) км/ч (скорость течения реки)
- ( v + 16 \approx 59.5 ) км/ч (скорость лодки)
