Для решения задачи введем обозначения:
- ( v_1 ) - скорость первого гонщика (км/ч),
- ( v_2 ) - скорость второго гонщика (км/ч).
Общая протяженность трассы в гонке составляет ( 26 ) кругов по ( 4 ) км, что равно ( 26 \times 4 = 104 ) км.
Данные:
- Первый гонщик пришел на финиш на 5 минут раньше второго. Это означает, что если ( t_1 ) - время первого гонщика в часах, то ( t_2 = t_1 + \frac{5}{60} ) часов (так как 5 минут — это ( \frac{5}{60} ) часов).
- Первый гонщик обогнал второго лишь один раз через 30 минут (или ( 0,5 ) часа) после старта.
Запишем уравнения для времени:
Для первого гонщика:
[
t_1 = \frac{104}{v_1}
]
Для второго гонщика:
[
t_2 = \frac{104}{v_2}
]
С учетом разницы во времени:
[
\frac{104}{v_2} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12}
]
где ( \frac{1}{12} ) — это 5 минут в часах.
Запишем расстояния за 30 минут (0,5 часа):
Первый гонщик проедет:
[
s_1 = v_1 \cdot 0.5
]
Второй гонщик проедет:
[
s_2 = v_2 \cdot 0.5
]
При этом, первый гонщик обгоняет второго, следовательно:
[
s_1 = s_2 + 4
]
Запишем уравнение для дальностей:
Подставив:
[
v_1 \cdot 0.5 = v_2 \cdot 0.5 + 4
]
Упростим уравнение:
[
0.5v_1 - 0.5v_2 = 4
]
[
v_1 - v_2 = 8 \quad (1)
]
Подставим это значение в уравнение времени:
Теперь подставим ( v_2 = v_1 - 8 ) в уравнение для времени:
[
\frac{104}{v_1 - 8} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12}
]
Умножим все на ( 12v_1(v_1 - 8) ):
[
1248(v_1) = 1248(v_1 - 8) + 104(v_1 - 8)
]
Раскроем скобки и упростим:
[
1248v_1 = 1248v_1 - 9984 + 104v_1 - 832
]
[
0 = 104v_1 - 9984 - 832
]
[
104v_1 = 10816
]
[
v_1 = \frac{10816}{104} = 104
]
Теперь найдем ( v_2 ):
[
v_2 = v_1 - 8 = 104 - 8 = 96
]
Ответ:
Скорости гонщиков:
- Первый гонщик: ( 104 ) км/ч
- Второй гонщик: ( 96 ) км/ч
