Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 26 кругов по кольцевой трассе протяженностью 4 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финише первый пришел раньше…

Для решения задачи введем обозначения:

• \( v_1 \) - скорость первого гонщика (км/ч),
• \( v_2 \) - скорость второго гонщика (км/ч).

Общая протяженность трассы в гонке составляет \( 26 \) кругов по \( 4 \) км, что равно \( 26 \times 4 = 104 \) км.

Данные:

1. Первый гонщик пришел на финиш на 5 минут раньше второго. Это означает, что если \( t_1 \) - время первого гонщика в часах, то \( t_2 = t_1 + \frac{5}{60} \) часов (так как 5 минут — это \( \frac{5}{60} \) часов).
2. Первый гонщик обогнал второго лишь один раз через 30 минут (или \( 0,5 \) часа) после старта.

Запишем уравнения для времени:

Для первого гонщика:

\[ t_1 = \frac{104}{v_1} \]

Для второго гонщика:

\[ t_2 = \frac{104}{v_2} \]

С учетом разницы во времени:

\[ \frac{104}{v_2} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12} \]

где \( \frac{1}{12} \) — это 5 минут в часах.

Запишем расстояния за 30 минут (0,5 часа):

Первый гонщик проедет:

\[ s_1 = v_1 \cdot 0.5 \]

Второй гонщик проедет:

\[ s_2 = v_2 \cdot 0.5 \]

При этом, первый гонщик обгоняет второго, следовательно:

\[ s_1 = s_2 + 4 \]

Запишем уравнение для дальностей:

Подставив:

\[ v_1 \cdot 0.5 = v_2 \cdot 0.5 + 4 \]

Упростим уравнение:

\[ 0.5v_1 - 0.5v_2 = 4 \] \[ v_1 - v_2 = 8 \quad (1) \]

Подставим это значение в уравнение времени:

Теперь подставим \( v_2 = v_1 - 8 \) в уравнение для времени:

\[ \frac{104}{v_1 - 8} = \frac{104}{v_1} + \frac{1}{12} \]

Умножим все на \( 12v_1(v_1 - 8) \):

\[ 1248(v_1) = 1248(v_1 - 8) + 104(v_1 - 8) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 1248v_1 = 1248v_1 - 9984 + 104v_1 - 832 \]

\[ 0 = 104v_1 - 9984 - 832 \]

\[ 104v_1 = 10816 \]

\[ v_1 = \frac{10816}{104} = 104 \]

Теперь найдем \( v_2 \):

\[ v_2 = v_1 - 8 = 104 - 8 = 96 \]

Ответ:

Скорости гонщиков:

• Первый гонщик: \( 104 \) км/ч
• Второй гонщик: \( 96 \) км/ч