Чтобы преобразовать (a² - 1)(a³ - 1) в многочлен, мы сначала распишем оба множителя:
- (a² - 1) можно разложить как ((a - 1)(a + 1)).
- (a³ - 1) можно разложить как ((a - 1)(a² + a + 1)).
Теперь можем записать произведение:
[
(a² - 1)(a³ - 1) = (a - 1)(a + 1)(a - 1)(a² + a + 1)
]
Объединим множители с ((a - 1)):
[
= (a - 1)²(a + 1)(a² + a + 1)
]
Теперь умножаем:
Сначала умножим ((a + 1)(a² + a + 1)):
[
(a + 1)(a² + a + 1) = a³ + a² + a + a² + a + 1 = a³ + 2a² + 2a + 1
]
Теперь умножим результат на ((a - 1)²):
[
= (a - 1)²(a³ + 2a² + 2a + 1)
]
Теперь раскроем ((a - 1)² = a² - 2a + 1):
Умножаем:
[
(a² - 2a + 1)(a³ + 2a² + 2a + 1)
]
В результате
- (a² \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = a^5 + 2a^4 + 2a^3 + a^2)
- (-2a \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = -2a^4 - 4a^3 - 4a^2 - 2a)
- (1 \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = a³ + 2a² + 2a + 1)
Теперь соберём все слагаемые:
[
a^5 + (2a^4 - 2a^4) + (2a^3 - 4a^3 + a^3) + (a^2 - 4a^2 + 2a^2) + ( - 2a + 2a + 1)
]
[
= a^5 + 0 + -a^3 + -a^2 + 1
]
Итак, итоговый многочлен:
[
a^5 - a^3 - a^2 + 1
]
Ответ: (a^5 - a^3 - a^2 + 1)
