преобразуйте в многочлен (a²-1)(a³-1)

Чтобы преобразовать (a² - 1)(a³ - 1) в многочлен, мы сначала распишем оба множителя:

1. \(a² - 1\) можно разложить как \((a - 1)(a + 1)\).
2. \(a³ - 1\) можно разложить как \((a - 1)(a² + a + 1)\).

Теперь можем записать произведение:

\[ (a² - 1)(a³ - 1) = (a - 1)(a + 1)(a - 1)(a² + a + 1) \]

Объединим множители с \((a - 1)\):

\[ = (a - 1)²(a + 1)(a² + a + 1) \]

Теперь умножаем:

Сначала умножим \((a + 1)(a² + a + 1)\):

\[ (a + 1)(a² + a + 1) = a³ + a² + a + a² + a + 1 = a³ + 2a² + 2a + 1 \]

Теперь умножим результат на \((a - 1)²\):

\[ = (a - 1)²(a³ + 2a² + 2a + 1) \]

Теперь раскроем \((a - 1)² = a² - 2a + 1\):

Умножаем:

\[ (a² - 2a + 1)(a³ + 2a² + 2a + 1) \]

В результате

1. \(a² \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = a^5 + 2a^4 + 2a^3 + a^2\)
2. \(-2a \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = -2a^4 - 4a^3 - 4a^2 - 2a\)
3. \(1 \cdot (a³ + 2a² + 2a + 1) = a³ + 2a² + 2a + 1\)

Теперь соберём все слагаемые:

\[ a^5 + (2a^4 - 2a^4) + (2a^3 - 4a^3 + a^3) + (a^2 - 4a^2 + 2a^2) + ( - 2a + 2a + 1) \] \[ = a^5 + 0 + -a^3 + -a^2 + 1 \]

Итак, итоговый многочлен:

\[ a^5 - a^3 - a^2 + 1 \]

Ответ: \(a^5 - a^3 - a^2 + 1\)