Для решения уравнения ( \frac{5(x^2 - 1)}{2x + 1} = 2x - 1 ) начнем с того, чтобы привести его к более простому виду.
- Умножим обе стороны уравнения на (2x + 1) (при условии, что (2x + 1 \neq 0)):
[
5(x^2 - 1) = (2x - 1)(2x + 1)
]
- Раскроем скобки на правой стороне:
[
5(x^2 - 1) = 2x(2x) + 2x(-1) - 1(2x) - 1(-1)
]
[
= 4x^2 - 2x - 2x + 1
]
[
= 4x^2 - 4x + 1
]
- Теперь подставляем это обратно в уравнение:
[
5(x^2 - 1) = 4x^2 - 4x + 1
]
[
5x^2 - 5 = 4x^2 - 4x + 1
]
- Переносим все термины в одну сторону уравнения:
[
5x^2 - 4x^2 + 4x - 5 - 1 = 0
]
[
x^2 + 4x - 6 = 0
]
- Теперь решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
[
D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 16 + 24 = 40
]
Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня, которые можем найти по формуле:
[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}
]
[
x_{1,2} = \frac{-4 \pm \sqrt{40}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 2\sqrt{10}}{2} = -2 \pm \sqrt{10}
]
- Теперь найдем, в каких промежутках расположены корни:
[
x_1 = -2 - \sqrt{10}
]
[
x_2 = -2 + \sqrt{10}
]
Приблизительно ( \sqrt{10} \approx 3.16 ):
[
x_1 \approx -2 - 3.16 \approx -5.16
]
[
x_2 \approx -2 + 3.16 \approx 1.16
]
- Таким образом, корни (x_1) и (x_2) расположены в промежутке:
[
(-\infty, -5.16) \quad \text{и} \quad (-5.16, 1.16) \quad \text{и} \quad (1.16, +\infty)
]
Ответ: корни уравнения расположены в промежутке ( (-5.16, 1.16) ).
